最优控制习题及参考答案[1].pdf

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1、最优控制习题及参考答案习题1求通过x(0)=1，x(1)=2，使下列性能指标为极值的曲线：tf2J=∫(1x+)dtt0解：由已知条件知：t=0，t=10fd由欧拉方程得：(2x)=0dtx=C1x=Ct+C12将x(0)=1，x(1)=2代入，有：CC==11，21*得极值轨线：x()tt=+112习题2求性能指标：J=x∫(1+)dt0在边界条件x(0)=0，x(1)是自由情况下的极值曲线。**解：由上题得：x()tC=t+Cx()t12由x(0)=0得：C=02x0∂L由==2(xt)2C=0f1t

2、t=t∂xftt=f01*于是：xt()=0【分析讨论】对于任意的x(0)=x，x(1)自由。062*有：Cx=，C=0，即：x()tx=2010其几何意义：x(1)自由意味着终点在虚线上任意点。习题3已知系统的状态方程为：x()tx=(t)，x()t=u()t122边界条件为：xx(0)==(0)1，xx(3)==(3)0，1212312试求使性能指标J=u∫()tdt02**取极小值的最优控制u(t)以及最优轨线x(t)。⎡x⎤2解：由已知条件知：f=⎢⎥⎢u⎥⎣⎦T12Hamiton函数：HL=+λfH

3、=+uxλ+λu1222⎧λ=01由协态方程：⎨⎩λ=−λ21⎧λ=C⋯⋯①11得：⎨⎩λ21=−Ct+C2⋯⋯②∂H由控制方程：=+uλ=02∂u得：u=−=λCt−C⋯⋯③212由状态方程：x=uC=t−C21212得：x()tC=−tCt+C⋯⋯④21232由状态方程：x=x121132得：x()tC=−tCt+Ct+C⋯⋯⑤112346263⎡1⎤⎡0⎤将x(0)=⎢⎥，x(3)=⎢⎥代入④，⑤,⎣1⎦⎣0⎦10联立解得：C=，C=2，CC==112349由③、④、⑤式得：*10ut()=t−29*

4、352x()tt=−t++t1127*25x()tt=−2t+129习题4已知系统状态方程及初始条件为x=u，x(0)=1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。1222tJ=x∫()+uedt022t22t解：H=+xeue+λu⎧xu=⋯⋯①列方程：⎪⎨λ=−2xe2t⋯⋯②⎪2t⎩2eu+=λ0⋯⋯③1−2t由③得，u=−eλ⋯⋯④2代入①得，1−2txe=−λ2xe=−1−−22ttλ+eλ2将②，③代入，并考虑到ux=1−−22tt2t2tx=−ex(2−e)+e(−2ex)2整理可得

5、：xx+20−=x642特征方程：ss+21−=0ss=−12+，=−1−212于是得：x*()tC=+es12tsCet12*2③tt①2λ()te=−2u=−2exλ*2()te=−2t(Cses12ts+Cset)1122由x(0)=1，得：CC+=1⋯⋯⑤12由λ()t=λ(1)=0得：Cses1+Cses2=0⋯⋯⑥f1122⑤、⑥联立，可得CC、12求导**代回原方程可得x→u（略）习题5求使系统：x=x，x=u122由初始状态xx(0)=(0)=0出发，在t=1时转移到目标集12f112x

6、x(1)+(1)=1，并使性能指标J=u()tdt12∫20**为最小值的最优控制u(t)及相应的最优轨线x(t)。解：本题f()i，L(i)与习题3同，故H(i)相同→方程同→通解同⎧λλ==CC，−t+C11212⎪1132⎪x=Ct−+CtCt+C11234⎪62有：⎨⎪xC=−1t2Ct+C2123⎪2⎪⎩uC=−tC1265⎡0⎤x(0)=⎢⎥⎣0⎦由，有：CC==0⋯⋯①34由xx(1)+(1)=1，有：12111CC−+C−C=1121262223CC−=1⋯⋯②1232T∂∂ϕψ由λγ(1)=+⋅=

7、0，ψ=xx+−112∂∂xx⎡1⎤有：λγ(1)==⎢⎥0⇒λ(1)=λ(1)⎢⎥12⎣1⎦于是：CC=−+C1122C=C⋯⋯③1236②、③联立，得：C=-、C=-1277*36于是：ut=−+77*3132x=−tt+1147*236x=−tt+2147习题6已知一阶系统：x()tx=−()t+u(t)，x(0)=3*（１）试确定最优控制u(t)，使系统在t=2时转移到x(2)=0，并使性f能泛函22J=∫(1+=u)dtmin066*（２）如果使系统转移到xt()=0的终端时间t自由，问u(t)应如何确

8、定？ff2解：H=+1uu+λ−λx⎧x=−+xu⎪列方程：⎨λλ=⎪20u+λ=⎩t由协态方程得：λ=Ce⋯⋯①11t由控制方程：u=−Ce⋯⋯②1211tt−t代入状态方程：x=−xC−e⇒x()t=Ce−Ce12124①tx==2(，2)0f⎧1CC−=3⎪⎪214⎨⎪Ce−22−1Ce=021⎪⎩44123e解得：C=，C=1424e−1e−1