最优控制习题及参考问题详解

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1、标准文档最优控制习题及参考答案习题1求通过x(0)=1，x(1)=2，使下列性能指标为极值的曲线：实用大全标准文档tfJ=∫(x2+1)dt实用大全标准文档t0解：由已知条件知：t0=0，tf=1d由欧拉方程得：(2x)=0dtx=C1x=C1t+C2将x(0)=1，x(1)=2代入，有：C2=1，C1=1得极值轨线：x*(t)=t+1实用大全标准文档习题2求性能指标：J=∫1(x2+1)dt实用大全标准文档0在边界条件x(0)=0，x(1)是自由情况下的极值曲线。实用大全标准文档12解：由上题得：x*(t

2、)=Ct+Cx*(t)实用大全标准文档x由x(0)=0得：C2=00∂L实用大全标准文档由∂xt=tf=2x(tf)=2C1t=t=0tf01实用大全标准文档于是：x*(t)=0【分析讨论】对于任意的x(0)=x0，x(1)自由。实用大全标准文档2010有：C=x，C=0，即：x*(t)=x其几何意义：x(1)自由意味着终点在虚线上任意点。实用大全标准文档习题3已知系统的状态方程为：x1(t)=x2(t)，x2(t)=u(t)实用大全标准文档边界条件为：x1(0)=x2(0)=1，x1(3)=x2(3)=

3、0，31实用大全标准文档∫试求使性能指标J=0u2(t)dt2实用大全标准文档取极小值的最优控制u*(t)以及最优轨线x*(t)。⎡x⎤解：由已知条件知：f=⎢2⎥⎢⎣u⎥⎦实用大全标准文档Hamiton函数：H=L+λTfH=1u2+λx+λu实用大全标准文档⎧λ=0⎩λ=−λ由协态方程：⎨1212122实用大全标准文档⎧λ=C①得：⎨11⎩λ2=−C1t+C2②∂H实用大全标准文档由控制方程：∂u=u+λ2=0实用大全标准文档得：u=−λ2=C1t−C2③由状态方程：x2=u=C1t−C2得：x(t

4、)=1Ct2−Ct+C④实用大全标准文档22由状态方程：x1=x2123实用大全标准文档得：x(t)=1Ct3−1Ct2+Ct+C⑤实用大全标准文档1612234实用大全标准文档实用大全标准文档⎡1⎤⎡0⎤实用大全标准文档将x(0)=⎢⎥，x(3)=⎢0⎥代入④，⑤,⎣1⎦⎣⎦10实用大全标准文档联立解得：C1=由③、④、⑤式得：u*(t)=10t−29，C2=2，C3=C4=19实用大全标准文档1x*(t)=5t3−t2+t+127实用大全标准文档x*(t)=5t2−2t+129习题4已知系统状态方程

5、及初始条件为实用大全标准文档x=u，x(0)=1实用大全标准文档试确定最优控制使下列性能指标取极小值。1实用大全标准文档∫J=0解：H=x2e2t+u2e2t+λu⎪⎧x=u列方程：⎨λ=−2xe2t⎩⎪2e2tu+λ=0(x2+u2)e2tdt①②③实用大全标准文档由③得，u代入①得，x1e−2tλ④=−21e−2tλ实用大全标准文档=−2实用大全标准文档x1e−2tλe−2tλ实用大全标准文档=−+2将②，③代入，并考虑到u=x实用大全标准文档x1e−2t(−2xe2t)+e−2t(−2e2tx)2

6、实用大全标准文档=−整理可得：x+2x−x=0实用大全标准文档特征方程：s2+2s−1=0实用大全标准文档s1=−1+2，s2=−1−2实用大全标准文档12于是得：x*(t)=Ces1t+Ces2t)=u=λ*(t③−2e2t①−2e2tx实用大全标准文档λ*(t)=−2e2t(C1s1es1t+Cses2t)实用大全标准文档22s2由x(0)=1，得：C1+C2=1⑤实用大全标准文档s1由λ(tf)=λ(1)=0得：C1s1e+C2s2e=0⑥实用大全标准文档⑤、⑥联立，可得C1、C2求导代回原方程可得

7、x*→u*（略）习题5求使系统：x1=x2，x2=u实用大全标准文档由初始状态x1(0)=x2(0)=0出发，在tf=1时转移到目标集实用大全标准文档实用大全标准文档1x1(1)+x2(1)=1，并使性能指标J=∫1u2(t)dt实用大全标准文档20为最小值的最优控制u*(t)及相应的最优轨线x*(t)。解：本题f(i)，L(i)与习题3同，故H(i)相同→方程同→通解同⎧λ1=C1，λ2=−C1t+C2⎪⎪x=1Ct3−1Ct2+Ct+C实用大全标准文档⎨有：⎪1612234实用大全标准文档⎪x=1Ct

8、2−Ct+C实用大全标准文档⎪22⎪123实用大全标准文档⎩u=C1t−C2实用大全标准文档⎡0⎤x(0)=⎢⎥⎣0⎦由，有：C3=C4=0①实用大全标准文档由x1(1)+x2(1)=1，有：1C–1C+1C−C=1实用大全标准文档6122212实用大全标准文档2C−3C=1②3122∂ϕ∂ψT由λ(1)=+⋅γ=0，ψ=x1+x2−1∂x∂x⎡1⎤有：λ(1)=