计算物理方法(Sec1, Sec2).pptx

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1、计算物理熊诗杰（用于凝聚态物理）凝聚态物理中数值计算的基本特点大型矩阵的数值严格对角化方法密度泛函理论和固体能带理论MonteCarlo方法第一章凝聚态物理中的数值计算一、凝聚态系统基本特点－1.由大量粒子组成，是一个多粒子体系；2.这些粒子都是微观粒子，满足量子力学的运动规律。因此，凝聚态系统的状态要用多体波函数表达。二、多体波函数满足的基本方程----薛定谔方程这里，是多体波函数，其自变量是时间和描写各个粒子状态的广义坐标，是系统的哈密顿算符。如果不依赖时间，有我们有如下的定态薛定谔方程：是能量的本征值。三、薛定谔方程的基本特点1.是关于未知波函数的线性齐次方程-

2、--如果选取一组正交归一完备的基函数，可以将波函数表达为向量，哈密顿算符表达为矩阵。2.只有取一定的值才有非零的波函数----能量本征值3.是厄米算符，能量本征值为实数。4.如果哈密顿表达为阶矩阵，则有个能量本征值，对应着个正交归一的本征波函数。本征值有可能在数值上一样（简并）。求能量的本征值和对应的本征波函数。波函数可以是单体的波函数，也可以是多体的波函数。数值计算的基本出发点，是构造一组完备（或近于完备）的基函数，使波函数成为向量，哈密顿成为矩阵。四、数值计算的基本任务第二章：大型Hamiltonian系统的数值严格对角化方法－Lanczos方法第一节概述在对一个

3、实际的物理系统进行理论研究的过程中，经常会遇到要求一个大型或超大型Hermit矩阵的本征值和本征函数的问题。矩阵的维数往往会达到几十万甚至上百万。这样的矩阵在包含有大量微观自由度的宏观体系中是经常遇到的。例如，如果我们用分立的自旋来描写磁性晶格中的磁性原子，而磁性原子间的互作用则用相邻的自旋格点间的交换积分来表达，我们可以得到如下的Heisenberg哈密顿量：这里Jx,Jy,Jz是三个方向上的耦合常数，Sxi,Syi,Szi分别是第i个格点上的自旋在x,y,z三个方向上的分量。如果我们要将这个哈密顿量用数值的方法对角化，以求出其本征值和本征函数，我们就必须首先选择H

4、ilbert空间中一组完全的向量集作为基，把哈密顿量在这个基上用矩阵的形式表达出来，再对该矩阵进行数值求解。然而，与能带论中所用的单电子近似不同的是，这种强关联的多粒子体系所对应的Hilbert空间的基矢的个数是极其庞大的。在我们这个例子中，每个格点上的自旋的状态数是(2S+1)，如果我们研究的有限的系统包含有N个格点，那么总的状态数就是(2S+1)N个，也就是说，哈密顿矩阵的大小应该是(2S+1)N×(2S+1)N。这是一个极其庞大的数字，例如，我们研究一个只有4×4大小的自旋为1/2的二维晶格，那么哈密顿矩阵的大小就是65536×65536，这样大小的矩阵的直接数

5、值求解在现在的绝大多数计算机中都是办不到的。矩阵维数的增大使得求解本征值和本征函数变得非常困难，但是，我们看到，在绝大多数在物理上感到兴趣的问题中，哈密顿矩阵都有如下特点：(1)哈密顿矩阵都是厄米矩阵。(2)尽管哈密顿矩阵异常庞大，但是其中绝大多数非对角矩阵元都是零，只有数量很少的非零矩阵元，也就是说，这种矩阵是极为稀疏的矩阵。例如，对我们刚才讲的例子，哈密顿矩阵的每一行尽管有65536个元素，但其中非零的矩阵元不会超过5个。(3)所考虑的物理系统，一般都具有一定的对称性，满足一定的守恒律。这样，我们就可以根据对称性和守恒律的要求，采用一定的基函数，使哈密顿矩阵分解成

6、为互不关联的子矩阵，从而可以对比较小的子矩阵分别求解。Lanczos方法就是根据上述特点所发展起来的一种极为有效的哈密顿矩阵求解本征值和本征函数的数值方法。近年来，它已被广泛应用到强关联系统、无序系统等极为重要的物理系统之中，成为计算物理中一项至关重要的新方法。我们这一单元，就是介绍这一方法的基本做法和它的一些重要的应用。第二节基本方法发展Lanczos方法的最重要的目的，就是要找出一条有效的途径，来解决哈密顿矩阵过于庞大的问题。问题的关键就在于，如何充分利用前面说到的三个特点，即厄米性，稀疏性和对称性，来达到我们的目的。这是一个极其复杂的问题，涉及到一个物理系统的一

7、些非常具体的特点。在这一节中，我们将着重介绍如何利用体系的厄米性来将一个庞大的哈密顿矩阵约化为较小的矩阵，这是对各种物理系统都通用的基本的Lanczos方法。至于利用稀疏性和对称性来作进一步的约化，我们将在以下几节中加以介绍。我们设H是某一在N维Hilbert空间中的厄米算符，而v1是该空间中的一个任意的归一化的向量，即：v1+v1=1。我们连续地用H去作用，来构造出一组正交归一的向量：……….我们注意到这些方程的结构是三对角型的，即每个方程的右边只出现相邻的三个元素。这是由哈密顿矩阵的厄米性所决定的。这一迭代序列将在正交归一向量走遍整个Hilber