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1、引例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．第七节方向导数与梯度一、问题的提出1讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．二、方向导数的定义2当沿着趋于时，是否存在？3记为在偏导数存在的前提下4证明:由于函数可微，则增量可表示为两边同除以得到是方向余弦5故有方向
2、导数亦等于6xzy0lyxzPP0z=f(x,y)QM是曲面在点P0处沿方向l的变化率，即半切线方向导数方向导数的几何意义的斜率.N（看成是割线，切线是割线的极限位置）7解：所求方向导数8解由方向导数的计算公式知9故10推广可得三元函数方向导数的定义1112解令故方向余弦为13故14三、梯度的概念1516结论：沿梯度方向的方向导数取得最大值，即函数沿梯度方向增长最快，这个最大值等于这点处梯度的模。17类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元
3、函数18称为函数f的等值线.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面(等量面)当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为19函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等高线),指向函数增大的方向梯度的几何意义：梯度的方向与等值面（或者等高线）该点的法线的一个方向相同（从数值低的等高线指向数值高的）.看书p46图20等高线的画法21例如,22解由梯度计算公式得故23势与势场向量函数gradf(M)确定了一个向量场(梯度场),它是由数量场f(M)产生的.通常称函数f(M)为这个向量场的势,而这个向量场又称为势场.必须注意,任意一个
4、向量场不一定是势场,因为它不一定是某个数量函数的梯度场.四.数量场与向量场如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的数量f(M),则称在这空间区域G内确定了一个数量场.如果对于空间区域G内的任一点M,都有一个确定的向量F(M),则称在这空间区域G内确定了一个向量场.24例5设质量为m的质点位于原点,质量为1的质点位于记25它表示两质点间的引力,方向朝着原点,大小与质量的乘积成正比,与两点间距离的平方成反比.这说明了引力场是数量场的梯度场,因此常称为引力势.261、方向导数的概念2、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系（注意方向
5、导数与一般所说偏导数的区别）（注意梯度是一个向量）小结27思考题答28所以沿着任意方向的方向导数都存在且相等导数29思考与练习1.设函数(1)求函数在点M(1,1,1)处沿曲线在该点切线方向的方向导数;(2)求函数在M(1,1,1)处的梯度与(1)中切线方向的夹角.30曲线1.(1)在点解答提示:函数沿l的方向导数M(1,1,1)处切线的方向向量31322.函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性(92考研)33指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A3.函数提示:则(96考研)34课后思
6、考题：1.研究多元函数连续，偏导数，全微分，方向导数，梯度的关系。2.研究多元函数偏导数，全微分，方向导数，梯度的几何意义。35
