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1、1.设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过M点且与切线垂直的平面.2.空间曲线方程为切线方程为法平面方程为设曲面方程为二、曲面的切平面与法线令切平面方程为法线方程为其中第五节方向导数与梯度实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热．假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈
2、的方向（即梯度方向）爬行．问题的提出71方向导数定义1(方向导数)设二元函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义,l是以P0(x0,y0)为起点的射线,为其方向向量.如果极限8存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)记为如果函数f(x,y)在区域D内任何一点(x,y)处沿方向或的方向导数都存在,注:方向导数是函数沿半直线方向的变化率.则为D内的一个函数,称为f(x,y)沿方向的方向导函数(简称方向导数).处沿方向的方向导数,9t一定为正!是函数在某点沿任何方向的变化率.方向导数偏导数分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线Δx、Δy可正可负
3、！的变化率.10的方向导数存在,同理,函数的方向导数存在,存在时,当函数11函数函数12类似,可定义三元函数的方向导数对于三元函数它在空间一点的方向导数,定义为其中13定理1处可微,则函数且其中类似地,如果三元函数处可微,且其中14注即为(1)(2)计算方向导数只需知道l的方向及函数的偏导数.在定点的方向导数为(3)(4)关系方向导数存在偏导数存在可微15解令故其方向余弦为例设处指向外侧的法向量,求函数16故17解(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?并问在怎样的方向上此方向导数有例求函数18故(1)方向导数达到最大值方向导数达到最小值方向导数等于0.和(1)最大值;(2
4、)最小值;(3)等于零?问在怎样的方向上此方向导数有(2)(3)19考虑函数定点P0(3,1),P1(2,3).解求函数在P0沿方向的方向导数.练习20练习求函数在点处沿解切线方向的方向向量在此点的切线方向上曲线的方向导数.21解此方向的方向向量为练习22方向导数最大或最小?2梯度的概念问题:函数沿什么方向的方向导数为方向导数取最大值方向导数取最小值其中而方向一致时,方向相反时,23定义2记作即处的梯度,则梯度又可记为为函数称向量引用记号称为奈布拉算子,或称为向量微分算子或哈密尔顿算子,24结论:函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为
5、方向导数的最大值.梯度的模为沿着方向,函数减少得最快.方向：模：f变化率最大的方向f的最大变化率之值25此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方梯度的概念可以推广到三元函数则函数在该点的梯度为设三元函数在点P处可微分,向导数的方向一致,其模为方向导数的最大值.26解故可得,在处梯度为令例求函数在点处的梯度,并问在哪些点处梯度为零?27解练习28解因为正南方向,问他应当怎样往上登才能攀登得最快?例一个登山者在山坡上点处,山坡的高度z近似为若以x轴正向为在点处,与梯度方向一致时,攀登最快.如果以x轴正向为正南方向,则登山者应沿南偏东约方向攀登,攀登得最快.1、方向导数的概念2、梯度
6、的概念3、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）（注意梯度是一个向量）四、小结思考题思考题解答练习题练习题答案
