粒子物理与核物理实验中的数据分析-第二讲.ppt

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1、23/07/20211粒子物理与核物理实验中的数据分析杨振伟清华大学第二讲：基本概念（续）艾滋病检验结果再认识23/07/20212对于个人而言，0.032是主观概率。如果没有其它额外的信息时，应把0.001当作相对频率解释。但是往往在病毒检验前，该相对频率被当作一种信念来处理个人是否患病。如果还有其它额外的信息，应该给出不同的先验概率。这种贝叶斯统计的特点必定是主观的。例如，受检者有过吸毒历史。一旦验前概率改变，贝叶斯定理就会告诉患病的可能性。对阳性结果的诠释就会改变。问题：能否构造含自变量的概率？23/07/20213随机变量与概率密度函数假设实验结果为x(记作样本空间中元素)的概率

2、为那么概率密度函数p.d.f.定义为f(x)，它对全部样本空间S满足定义累积分布函数为对于离散型随机变量分位数、中值与模23/07/20214分位点x定义为随机变量x的值，它使得这里01。因此可以容易求出分位点随机变量x的中值定义为随机变量x被观测到大于或小于中值的概率是相等的。模定义为使概率密度函数值达到极大的随机变量值。23/07/20215直方图与概率密度函数概率密度函数p.d.f.就是拥有无穷大样本，区间宽度为零，而且归一化到单位面积的直方图。直方图在统计分析中非常重要，应准确理解它的含义。23/07/20216多变量情形如果观测量大于一个，例如x与y23/07/202

3、17边缘分布将联合概率密度函数p.d.f.分别投影到x与y轴若x，y相互独立，则可构造2-维p.d.f23/07/20218条件概率密度函数利用条件概率的定义，可得到定义条件概率的密度函数p.d.f.为则贝叶斯定理可写为h(y

4、x)yyx23/07/20219名词总汇随机事例概率条件概率相对频率与主观概率贝叶斯定理随机变量概率密度函数条件密度函数直方图23/07/202110问题条件概率如果A与B相互独立，则从文恩图上得到因此23/07/202111解答：概率都是条件概率由柯尓莫哥洛夫公理，我们定义了概率P(A)。但在实际应用中，我们总是对A相对于许多样本空间的概率感兴趣，而不仅仅只是一

5、个空间。因此，通常以记号来表示所进行的研究是在特定的样本空间S中，也就是A相对于S的条件概率。因此，所有概率在实际应用中都是条件概率。只有当S的选择是明白无误时，才能简单记为23/07/202112解答：互斥与相互独立互斥的定义为也就是两个事例的定义没有交集。所给出的推论为相互独立的定义为因此，根据定义两个相互独立的事例不意味着是互斥的。前面的问题属于把两者定义混淆了。23/07/202113证明举例：事例与逆事例如果A是在S中的任意一个事例，则证明：由于A与根据定义是互斥的，并且从文恩图得到因此可以写出23/07/202114举例：检查给定概率的合理性如果一个实验有三种可能并且互斥的结

6、果A，B和C，检查下列各种情况给出的概率值是否是合理的：结论：只有1）与4）是合理的。评论：作为一个合格的实验研究人员，一定要具备判断结果是否合理的能力！23/07/202115举例：检查经验概率密度函数实验上经常经验性地从直方图中给出概率密度函数（例如通过拟合直方图分布等等），但是需要确定得到的函数是否满足概率密度函数的定义，例如试判断哪一个可以用作概率密度函数？答案：1）有负概率值；2）累积函数值大于1。因此，两者在给定的随机变量范围内都不能用作概率密度函数。23/07/202116数据分析中的问题粒子与核物理实验中对动量的测量通常是分别测量在已知两分量测量值的概率密度函数情况下，总

7、动量为如何导出总动量的测量值的概率密度函数？是研究随机变量函数的p.d.f问题。23/07/202117一维随机变量的函数随机变量的函数自身也是一个随机变量。假设x服从p.d.f.f(x)，对于函数a(x)，其p.d.f.g(a)为何？23/07/202118函数的逆不唯一情况假如a(x)的逆不唯一，则函数的p.d.f.应将dS中对应于da的所有dx的区间包括进来23/07/202119多维随机变量的函数考虑随机矢量与函数，对应的p.d.f.如果两个独立变量x与y，分别按g(x)与h(y)分布，那么函数z=xy应具有何种形式？多维随机变量的函数(续一)23/07/202120记作g与h的

8、Mellin卷积如果函数为z=x+y，则应具有何种形式？记作g与h的傅立叶卷积注意：通常将两者皆称为g与h的卷积，已相同记号表示。多维随机变量的函数(续二)23/07/202122期待值考虑具有p.d.f.的随机变量，定义期待(平均)值为注意:它不是的函数，而是的一个参数。通常记为：对离散型变量，有对具有p.d.f.的函数，有方差定义为通常记为：标准偏差：23/07/202123协方差与相关系数定义协方差(也可用矩阵表示)为相关系数