初中数学竞赛联赛数论讲义.pdf

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1、厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992，全国高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437QQ：136257437初中数学竞赛难题系列数论厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语竞赛群：27175

2、0414，英语口语群：168570356，心算交流群：1310332731/50厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高中奥数学生群：591782992，全国高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437QQ：136257437第一部分基本内容主要有10个定义+18个定理：定义1（带余除法）给定整数abb,,0,如果有整数qr,0rb满足aqbr，则q和r分别称为a除以b的商和余数．特别的

3、，r0时，则称a被b整除，记作ba，或者说a是b的倍数，而b是a的约数．（qr,的存在性由定理1证明）定义2（最大公约数）设整数aa,,,a中至少有一个不等于零，这n个数的最大公约数是能整除其中每一12n个整数的最大正整数，记作aa,,,a．12naa,,,a中的a没有顺序，最大公约数也称最大公因数．12ni简单性质：aa,,,aa,a,,a．12nn12一个功能：可以把对整数的研究转化为对非负整数的研究．定义3（最小公倍数）非零整数aa,,,a的最小公倍数是能被其中每一个a1in所整除的最小正整12ni数，记作aa,,,a．12n简单性质：如果k是

4、正整数ab,的公倍数，则存在正整数m使kmab,证明若不然，有kmab,r（0,rab），由kab,,都是ab,的公倍数得r也是ab,的公倍数，但0,rab，与ab,的最小性矛盾．故kmab,．定义4如果整数ab,满足ab,1，则称a与b是互素的（也称互质）．定义5大于1且除1及其自身外没有别的正整数因子的正整数，称为素数（也称质数）．其余大于1的正整数称为合数；数1既不是素数也不是合数．定理1若ab,是两个整数，b0，则存在两个实数qr,，使aqbr0rb，并且qr,是唯一性．证明1先证存在性．作序列,3.2,b

5、bb,0,,2,3,bbb则a必在上述序列的某两项之间，从而存在一个整数q，使厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，物理竞赛群：271751860，化学竞赛群：271751511，生物竞赛群：254139830，信息竞赛群：281798334，英语竞赛群：271750414，英语口语群：168570356，心算交流群：1310332732/50厦门郑剑雄数学全国小学奥数群：221739457，中考数学群：579251397，初中奥数学生群:253736211，初中奥数教练群112464128，高考数学交流群：536036395，全国高

6、中奥数学生群：591782992，全国高中奥数教练群195949359新浪微博@郑剑雄微信：v136257437QQ：136257437qbaq1b，即0aqbb，取raqb，0rb，得aqbr，即存在两个实数qr,，使aqbr0rb．再证唯一性．假设不唯一，则同时存在qr,与qr,，使1112aqbr0rb，111aqbr0rb，222相减qqbrr，1221qqbrrb，122101qq，12但qq为整数，故qq0，得qq，从而rr．12121212注：如果取消0rb，当r0

7、或rb，不保证唯一．经典方法：紧扣定义，构造法证存在性，反证法证唯一性．证明2只证存在性，用高斯记号，由aa01，bba有0abb，baaa记rab，故存在q,rab,0rb使bbbaqbr0rb．证明3只证存在性，作集合MabxxZabx

8、,0厦门数学教师交流群：259652195，厦门培训机构教师招聘群：186883776，物理竞赛群：27175186