华科王敏老师自控教案第二章.ppt

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1、第二章线性系统的数学模型2-1系统的微分方程2-2非线性数学模型的线性化2-3线性系统的传递函数2-4控制系统的结构图2-5反馈控制系统的传递函数12.1系统的微分方程在实际应用中，绝大多数控制系统在一定的限制条件下，都可以用线性微分方程来描述。用解析法列写系统微分方程的一般步骤为：根据实际工作情况，确定系数和各元件的输入、输出变量。从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量所遵循的物理、化学定理，列写出动态方程，一般为微分方程。消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程。标准化。2例2-1设一弹簧、质量块、阻尼

2、器组成的系统如图所示，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的微分方程。kF(t)mfy(t)3解：若弹簧恢复力F2(t)和阻尼器阻力F1(t)与外力F(t)不能平衡，则质量块将产生加速运动，其速度和位移发生变化。根据牛顿定理有:式中f—阻尼系数,k—弹性系数由以上所列方程中消去中间变量：42.2非线性数学模型的线性化在一定条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线性模型的处理方法称为非线性数学模型的线性化。饱和非线性xy在工程实际中，控制系统都有一个额定的工作状

3、态和工作点，当变量在工作点附近作小范围的变化,且变量在给定的区域间有各阶导数时，便可在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒级数，忽略级数中高阶无穷小项后，就可得到只包含偏差的一次项的线性方程。这种线性化方法称为小偏差法。5例如，设非线性函数y=f(x)如图所示，其输入量为x，输出量为y，如果在给定工作点y0=f(x0)处各阶导数均存在，在y0=f(x0)附近将y展开成泰勒级数：y=f(x)y0x0xy小偏差线性化示意图如果偏差Δx=x-x0很小，则可忽略级数中高阶无穷小项，上式可写为K表示y=f(x)曲线在(x0

4、,y0)处切线的斜率。因此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化。62.3.1传递函数的定义线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。若线性定常系统的微分方程为在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换，得2.3线性系统的传递函数描述该线性定常系统的传递函数为72.3.2传递函数的性质1.传递函数表示系统传递输入信号的能力，反映系统本身的动态特性，它只与系统的结构和参数有关，与输入信号和初始条件无关。2.传递函数是复变量s的有理分式函数，其分子多项式的次数m低于或等

5、于分母多项式的次数n，即m≤n。且系数均为实数。3.在同一系统中，当选取不同的物理量作为输入、输出时，其传递函数一般也不相同。传递函数不反映系统的物理结构，物理性质不同的系统，可以具有相同的传递函数。4.传递函数的定义只适用于线性定常系统。8常把传递函数分解为一次因式的乘积式中的K称为传递函数的增益或传递系数（放大系数）。zj(j=1.2.…m)为分子多项式的根，称为传递函数的零点。Pi(1.2.…n)为分母多项式的根，称为传递函数的极点。传递函数的分母多项式就是相应微分方程式的特征多项式，令该分母多项式等于零，就

6、可得到相应微分方程的特征方程。92.3.3典型环节的传递函数比例环节的输出量能够既不失真又不延迟地反映输入量的变化。比例环节的传递函数为比例环节又称放大环节。其数学方程为式中c(t)为输出量，r(t)为输入量，K为放大系数（或增益）。1.比例环节102.惯性环节惯性环节又称非周期环节，其输入、输出间的微分方程为式中T为时间常数，K为比例系数惯性环节的输出量不能立即跟随输入量的变化，存在时间上延迟，时间常数愈大惯性愈大，延迟时间也愈长，时间常数T表征了该环节的惯性。在单位阶跃输入时惯性环节的输出量是按指数函数变化的。

7、当t=3T～4T时，输出才能接近其稳态值。113.积分环节积分环节的微分方程是积分环节的输出量是与其输入量的积分成比例的。由积分环节的微分方程求得其单位阶跃响应为c(t)=Kt单位阶跃响应的斜率为K，如右图所示。c(t)t0式中K=1/T，称为积分环节的放大系数，T称为积分时间常数。124.振荡环节振荡环节的微分方程是当输入为单位阶跃函数时，可用拉氏反变换求得环节的输出响应，如右图所示。c(t)10t式中T--时间常数，--阻尼比，对振荡环节有0≤<1135.微分环节理想微分环节的微分方程为式中为微分时间常数

8、。理想微分环节的单位阶跃响应为这是一个强度为的理想脉冲。在实际物理系统中得不到这种理想微分环节。146.纯滞后环节当输入作用到环节以后，其输出量要等待一段时间后，才能复现输入信号，在时间0到的时间内，输出量为零，这种具有延时效应的环节称为纯滞后环节。纯滞后环节的数学表达式为式中为纯滞后时间。当输入信号为下图(a)所示的单位阶跃函数时，其响应曲线如下图