北航计算方法复习题.ppt

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1、计算方法复习课2011-12-29教学内容引论第一章插值方法第二章数值积分第三章常微分方程的差分方法第四章方程求根的迭代法第五章线性方程组的迭代法第六章线性方程组的直接法（但精度、误差等概念要贯穿于考题中）考题形式填空题——主要考察基本概念，对方法的理解共8题，共40分五章的内容基本平均分配大题——计算、证明等5-6道题，共60分五章的内容基本平均分配其中有1-2道题为作业题或书上的例题（可能改数）第一章插值方法拉格朗日插值（插值余项）埃特金算法牛顿插值埃尔米特插值分段插值样条插值曲线拟合的最小二乘法第一章插值方法计

2、算函数值需要计算函数值，但函数关系复杂，没有解析表达式。常见的有：由观测数据计算未观测到的点的函数值。——由观测数据构造一个适当的简单函数近似的代替要寻求的函数——插值法。第一章插值方法几个典型问题：问题1：设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn是[a，b]上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造一个函数g(x)，使得g(xi)=yi(i=0,1,…,n)。问题2：求做n次多项式pn(x)，使满足条件：为一组已给数据。问题3：=问题1+问题2：即过给定点，也要求导数相同。第一章插值方法问

3、题1：设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn是[a，b]上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造一个函数g(x)，使得g(xi)=yi(i=0,1,…,n)。几何意义：x0x1x2x3x4xg(x)f(x)代数插值：为多项式函数集第一章插值方法问题1：设函数y=f(x)定义域为[a，b]，x0，x1，…，xn是[a，b]上的n+1个互异点，且yi=f(xi)已知，要构造一个函数g(x)，使得g(xi)=yi(i=0,1,…,n)。代数插值：为多项式函数集Lagrange插值公式Aitk

4、en插值公式Newton插值公式第一章插值方法Lagrange插值公式Lagrange多项式Lagrange基函数满足与节点有关，而与f无关给定xi=i+1,i=0,1,2,3,4,5.下面哪个是l2(x)的图像？y0---10.5-0.5123456xy0---10.5-0.5123456xy0---10.5-0.5123456xABC第一章插值方法Lagrange插值公式Lagrange多项式Lagrange基函数思考1：令R[x]n+1表示所有的不高于n次的实系数多项式和零多项式构成的集合，假设函数y=f(x)

5、的已知值(xi，yi)(yi=f(xi)，i=0，1，…，n)，寻找一个多项式Pn(x)R[x]n+1，满足：Pn(xi)=f(xi)(i=0，1，…，n)(*)唯一性？思考2：f(x)=xk(k=0,1,…,n)关于互异节点xi(i=0,1,…,n)的拉格朗日插值公式第一章插值方法Lagrange插值公式Lagrange多项式Lagrange基函数1.20.4-0.8-2.0yi=f(xi)2.01.81.41.0xi求的值求方程在[1，2]内根的近似值。反插值问题例：已知单调连续函数在如下采样点的函数值：第一章插

6、值方法Lagrange插值公式Lagrange多项式Lagrange基函数（2）Lagrange插值多项式结构对称，形式简单.注：（1）若不将多项式次数限制为n，则插值多项式不唯一。（4）当插值节点增加时，拉氏基函数需要重新计算，n较大时，计算量非常大,故常用于理论分析。（3）误差估计第一章插值方法Aitken插值公式(效率，或临时增加一个节点)利用两个k-1次插值fk-1(xk-1)，fk-1(xi)再做线性插值，结果得到k次插值fk(xi)的结果特点：高次插值过程归结为线性插值的多次重复；数据的一致程度可判断插值

7、结果的精度。给定3个节点及节点上的函数值(xi，f(xi))(i=0，…，2)，按Aitken插值方法构造插值函数，试在下图中画出任意给定x对应的f2(x2)第一章插值方法Newton插值公式——具有承袭性的显示插值公式差商具有对称性余项？第一章插值方法问题2：求做n次多项式pn(x)，使满足条件：为一组已给数据。Taylor插值第一章插值方法问题3：=问题1+问题2：即过给定点，也要求导数相同。Hermite插值求函数f(x)的二次近似式P2(x)，满足：P2(x0)=f(x0)=y0,P’2(x0)=f’(x0)

8、=y’0,P2(x1)=f(x1)=y1。求函数f(x)的三次近似式p3(x)，满足：P3(x0)=f(x0)=y0,P’3(x0)=f’(x0)=y’0,P3(x1)=f(x1)=y1，P’3(x1)=f’(x1)=y’1基函数法余项？？第一章插值方法分段插值高次插值可能会产生龙格现象-5-4-3-2-1012345-0.500.511.52