中科院量子力学考研真题及答案详解(19902010共40套真题).pdf

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1、1990—2010年中科院量子力学考研真题及答案详解中国科学院－中国科技大学1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（理论型）说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100分。一、在t0，氢原子波函数为1(,0)r22310021021121110其中右方函数下标表示量子数nlm。忽略自旋和辐射跃迁。(1)此系统的平均能量是多少？(2)这系统在任意时刻处于角动量投影L0的几率是多少？z二、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系，证明2EEnxn00常数

2、n2pˆ这里E是哈密顿量HVˆ()x的本征能量，相应的本征态为n。求出该常数。n2m三、设一质量为的粒子在球对称势Vrkrk()(0)中运动。利用测不准关系估算其基态的能量。四、电子偶素（ee束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里，存在一种接触型自旋交换作用HMˆˆ8Mˆ其中Mˆ和Mˆ是电子和正电子的自旋磁矩epep3(,MˆqSqˆe)。利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能mc量差，决定哪一

3、个能量更低。对普通的氢原子，基态波函数：2211raeea,,10032amec137ra五、一质量为的粒子被势场VrVe()(Va0)所散射，用一级玻恩近似计算微00分散射截面。试题名称：1990年量子力学（理论型）第1页共1页2中国科学院－中国科技大学1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100分。一、(1)光电效应实验指出：当光照射到金属上，a)只有当光频率大于一定值时，才有光电子发射出；0b)光电子的能量只与

4、光的频率有关，而与光的强度无关；c)只要光的频率大于，光子立即产生。0试述：a)经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论矛盾何在？b)用爱因斯坦假说正确解释上述实验结果。(2)电子是微观粒子，为什么在阴极射线实验中，电子运动轨迹可用牛顿定律描述？(3)和为体系本征态，任一态为cc。如果0，试问：1211221a)如和是经典波，在态中和态的几率如何表示？1212b)如和是几率波，在态中和态的几率如何表示？1212(4)如何知道电子存在自旋？2ˆpˆ122二、一维谐振

5、子的哈密顿量Hmx，基态波函数22m22x2m()xe,。设振子处于基态。（1997年（实验型Ⅰ）第五题）(1)求x和p；(2)写出本征能量E，并说明它反映微观粒子什么特征？(3)一维谐振子的维里定理是TV，试利用这个定理证明：xp，其中22222xxx,ppp。三、精确到微扰论的一级近似，试计算由于不把原子核当作点电荷，而作为是半径为R，均匀带电荷Ze的球体所引起的类氢原子基态能量的修正。已知球内静电势23Zer3ZeZZra()

6、r，球外电势为，类氢原子基态波函数ea,为21s3R22Rra玻尔半径。四、(1)用j,,ls写出LSJSˆˆˆˆ,的表达式。(2)对于ls2,12，计算LSˆˆ的可能值。(3)确定（2）中和间夹角的可能值，并画出LˆSˆLSˆ,ˆ和的矢量模型图。Jˆ五、求在一维常虚势场iV()VE中运动粒子的波函数，计算几率流密度，并证明虚势代表粒子的吸收，求吸收系数（用V表示）。试题名称：1990量子力学（实验型）第1页共1页3中国科学院－中国科技大学1991年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：

7、量子力学（理论型）说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100分。一、一个带电粒子在电磁场中运动，请推导相应的几率守恒定律。求出几率密度与几率流密度的表达式。二、当两个质量为m的粒子通过球对称势Vr()Arrln，（Ar0,0为常数）而束00缚在一起，其第一激发态能量与基态能量之差为E。今有一个质量为m的粒子与另一个质量为1840m的粒子通过同一位势形成束缚态，则这一系统的第一激发态与基态能量之差是多少？说出理由，并证明之。三、一束极化的波（sl0）电子通过一个不均匀的磁场后分裂为强度不同的两束，

8、其中自旋反平行于磁场的一束与自旋平行于磁场的一束之强度比为3:1，求入射电子自旋方向与磁场方向夹角的大小。四、质量为的粒子在一个三维球方势阱中运动，0,raVr()(V0)0Vra,0问：(1)存在s波束缚态的条件是什么？(2)当粒子能量E0时，求粒子的s波相移；0(3)证明limnn,为