2012考研数学真题及答案详解

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1、2012年全国硕士研究生统一考试数学一试题一、选择题:共8小题,每题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上。1、曲线渐近线的条数()(A)0;(B)1;(C)2;(D)3。2、设函数,其中为正整数,则()(A);(B);(C);(D)。3.如果函数在处连续,那么下列例题正确的是()(A)若极限存在,则在处可微;(B)若极限存在,则在处可微;(C)若在处可微,则极限存在;(D)若在处可微,则极限存在。4、设,则有()(A);(B);(C);(D)5

2、、设,其中为任意常数,则下列向量组线性相关的是()(A);(B);(C);(D)。6、设为3阶矩阵,为3阶可逆矩阵,且,则()(A);(B);(C);(D)。7、设随机变量与相互独立,且分别服从参数为1和参数为4的指数分布,则()(A);(B);(C);(D)。8、将长度为的木棒随机的截成两段,则两段长度的相关系数为()(A)1;(B);(C);(D)。二、填空题:9-14,共6题,满分24分请将答案写在答题纸指定的位置上。9、若函数满足方程及,则。10、。11、。12、已知曲面,则。13、设为三维单位向量,为阶单

3、位矩阵,则矩阵的秩为。14.设是随机事件,互不相容,,则。三、解答题:15-23,共9题,共94分,将解答写在答题纸指定的位置上,解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。15(本题10分)、证明:,其中。16(本题10分)、求的极值。17(本题10分)求幂级数的收敛域与和函数。18(本题10分)、已知曲线,其中有连续导数,且,当时,,若曲线的切线与轴的交点到切点的距离恒为1,求的表达式,并求此曲线与轴、轴无边界区域的面积。19(本题10分)、计算曲线积分,其中是第一象限中从点沿圆周到点,再沿圆周到点曲线段。20(本

4、题11分)设。(1)求;(2)已知线性方程组有无穷解,求,并求的通解。21(本题11分)三阶矩阵,为矩阵的转置矩阵,已知,且二次型。(1)求;(2)求二次型对应二次型矩阵,并将二次型化为标准型,写出正交变换过程。22(本题11分)已知随机变量及分布律如下,求(1);(2)与23(本题11分)设随机变量与相互独立,且分别服从正态分布与,其中是求知参数,设。(1)求的概率密度;(2)设是来自总体的简单随机样本,求的最大似然估计量;(3)证明是的无偏估计量。2012年全国硕士研究生统一考试数学一试题答案1、解:(C):,

5、可得有一条水平渐近线;,可得有一条铅直渐近线;,可得不是铅直渐近线,故答案为(C)。2、解:(A):;则。故答案为(A)。3、解:(B):∵在处连续:①对(A):令,可得,,则不存在,同理得也不存在,故(A)错;②对(B):令,可得,,同理,则由微分定义可得在处可微,故答案为(B);③对(C)和(D):在处可微,可知在处偏导,即,则,显然极限不存在,同理,显然极限不存在,故(C)和(D)选项错误。4、解:(A):方法一:令,则,可得在上严格单调增加,可得,故答案为(A);方法二:由定积分的几何意可得,故答案为(A)

6、。5、解:(C):,故线性相关,可得答案为(C)。6、解:(B):,可得,故答案为(B)。7、解:(A):由题意得与的概率密度分别为和,由与相互独立,可得,则,故答案为(A)。8、解:(D):设两段长度分别为和,则,可得相关系为,故答案为(D)。9、解::的特征方程为解得,可得通解为:,代入得,可得。故可得答案为。10、解:,令,可得由对称性得,再令可得。11、解:或:令,则,可得。12、解::由曲面可得,向面投影,可得,则。13、解::因为为三维单位向量,则,且,得的特征值为,故的特征值为,且这实对称矩,必可对角

7、化,其秩等于非零特征值的个数。14、解::,而,互不相容可得,,可得。15、证明:令,当时,可导,且(1)当时,显然,则可得当时,,即当时,单调增加,,可得;(2)当时,显然可得当时,,即当时,单调减少,,可得;由(1)和(2)可得当时,。16、解:先求函数的驻点,,可得驻点为;又所以,可得,而,故可得在点处取得极大值。17、解:,可得当,可得级数,显然发散,故收敛域为,且;,可得,即;,可得,可得,可得当时,,则。18、解:(1)设为上的任意一点,可得切线斜率为,可得过点的切线方程为,令,可得,由于曲线的切线与轴

8、的交点到切点的距离恒为1,故有化简得,解得,代入得,则,;(2)曲线与轴、轴无边界区域的面积为:。19、解:圆周为圆,圆周为圆,补一直线段,令显然在、和所围闭区域上具有一阶连续偏导数,且,且取为正方向,由格林公式可得。20、解:(1);(2)要使方程组有无穷解,则必有解得,则可得的同解方程组为,可得的通解为。21、解:(1),由得,解得;(2)当,,则解得;

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