绳的振动方程.pdf

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1、长为l的柔软均质轻绳，一端（x=0）固定在以匀速ω转动的竖直轴上。由于惯性离心力的作用，这绳的平衡位置应是水平线。试推导此绳相对于水平线的横振动方程。解：研究位于x到x+dx这一段绳A的振动情况。设绳的质量密度为ρ。A在纵向没有运动，于是A所受的纵向合力为零，即A所受的张力在纵向的合力等于其所受的惯性离心力2TTcosαα−+cosρdsωx=02211即2TTcosα−=cosαρ−dsωx（1）2211ghh在横向，由牛顿第二定律F=ma，得Tsinα−Tsinαρ=dsu（2）2211tt在小振动条件下，有cosα≈≈cosα1，ds≈dx，12注意到TT=，T=T，由（1

2、）得2xd+x1x2TT−=−ρdxωx，xd+xx即2dT=−ρωxdx于是绳中任一点x处的张力为1Txl122222（3）【()T()x==∫∫0dT−lxρωxdx=∫ρωxdx=ρω(l−x)x,l段的惯性离心力】2又sinαα≈tan=u，sinαα≈=tanu，代入（2）得11xx22xxd+x()Tuxx−(Tu)，xd+xx()Tuxxxd+x−()Tux=ρdxutt⇒=ρuttdx∂()Tux即=ρu，将T(x)的表达式（3）代入，得绳的振动方程tt∂x122∂2utt=ω∂⎡⎣(l−x)ux⎤⎦与ρ无关。2x2