数学物理方法课件第七章-----行波法.ppt

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1、本章主要内容能够导出并且记住一维波动方程的通解（达朗贝尔公式）；掌握达朗贝尔公式的应用和物理意义;掌握行波法解题的要领，并且能够使用行波法求解定解问题；第七章行波法§7.1行波法—一维波动方程的达朗贝尔解考虑如下定解问题（无界弦的自由振动问题）：一、达朗贝尔公式一、达朗贝尔公式§7.1行波法—一维波动方程的达朗贝尔解①式算符分解坐标变换：一、达朗贝尔公式§7.1行波法—一维波动方程的达朗贝尔解一、达朗贝尔公式§7.1行波法—一维波动方程的达朗贝尔解一、达朗贝尔公式§7.1行波法—一维波动方程的达朗贝尔解一

2、、达朗贝尔公式§7.1行波法—一维波动方程的达朗贝尔解一、达朗贝尔公式达朗贝尔公式D’Alembert§7.1行波法—一维波动方程的达朗贝尔解一、达朗贝尔公式§7.1行波法—一维波动方程的达朗贝尔解行波法解题要领行波法的提法来自于研究行进波。其解题要领为：（1）引入特征变换，把方程化为变量可积的形式，从而得到方程的通解；（2）使用定解条件确定通解中的任意函数（对于常微分方程为常数），从而得到其特解。注意：由于偏微分方程求解较难，大部分偏微分方程的通解均不易获得，使用定解条件确定其任意函数或常数也绝非易事，

3、故行波法也有其较大的局限性。但是对于研究波动问题，行波法自有其独特的优点(实际上我们主要只使用它研究波动问题)。因此行波法是求解数学物理方程的基本的和主要的方法之一。四、关于达朗贝尔公式的应用§7.1行波法—一维波动方程的达朗贝尔解四、关于达朗贝尔公式的应用§7.1行波法—一维波动方程的达朗贝尔解四、关于达朗贝尔公式的应用§7.1行波法—一维波动方程的达朗贝尔解§7.2行波法—强迫振动强迫振动问题强迫振动问题§7.2行波法—强迫振动uⅠ（达朗贝尔公式）uⅡ五、强迫振动问题§7.2行波法—强迫振动行波法复习

4、小结1、一维无界弦自由振动的初值问题2、行波法解波动方程的基本思想与关键步骤：基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。算符分解变量代换通解代入初始条件特解达朗贝尔公式3、达朗贝尔解的物理意义4、行波法的应用①求解一维无界弦的自由振动（齐次）问题；（§7.1）②求解一维无界弦的强迫振动（非齐次）问题；（§7.2）基本思想：利用偏微分方程和定解条件的线性叠加性质，将定解问题分解为自由振动和纯强迫振动两部分。关键步骤：利用冲量

5、原理法求解纯强迫振动uⅠ（达朗贝尔公式）uⅡ4、行波法的应用①求解一维无界弦的自由振动（齐次）问题；（§7.1）②求解一维无界弦的强迫振动（非齐次）问题；（§7.2）③求解半无界弦的自由振动问题端点的反射：端点固定边界条件达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为x0当t>x/a时，上式后两项无意义，必须将u(x,t)延拓到这个范围。初始条件定解问题讨论：代入初始条件：延拓方法：首先由泛定方程的通解入手：代入边界条件：令奇延拓所以做奇延拓：由边界条件：达朗贝尔解为：（1）xat,即x-at0结果

6、讨论：（2）xat,即x-at04、行波法的应用①求解一维无界弦的自由振动（齐次）问题；②求解一维无界弦的强迫振动（非齐次）问题；（§7.2）③求解半无界弦的自由振动问题端点的反射：端点自由边界条件初始条件定解问题在此边界条件下，如何做延拓？做偶延拓：达朗贝尔解：定解问题解：