第七章 green 函数法 - 数学物理方法

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1、第7章Green函数法数学物理方法MathematicalMethodinPhysics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全共28页第28页第7章Green函数法第七章Green函数法GreenFunctionmethod引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出

2、的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松

3、方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。共28页第28页第7章Gre

4、en函数法7.1Laplace方程边值问题7.1.1内问题Laplace方程：描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1.第一边值问题Dirichlet问题设曲面为空间某一区域的边界，是定义在曲面上已知连续函数，求一函数满足Laplace方程，满足光滑性条件：在区域内有二阶连续偏导数，在上连续，且有具有二阶连续偏导数且满足Laplace方程的函数称为调和函数。第一边值问题的等价说法：在区域内求一调和函数，使它在上连续，并且在边界上与已知函数相等。2.第二边值问题Neu

5、mann问题为的外法线方向3.第三边值问题其中、不全为零三维Laplace方程的边值问题可统一写为：三维Poisson方程的边值问题可统一写为：其中、均为连续的三元函数共28页第28页第7章Green函数法内问题：以上所讨论的边值问题都是在边界上给定某些约束条件，并在的内部求Laplace方程或Poisson方程的解，这样的问题称为内问题。7.1.2外问题物理中，在确定物体外部的稳恒温度场时，人们常常将它归结为某一区域的外部求调和函数，并满足边界条件，这里表示的边界，表示物体表面的温度。类似这样的定解问题称为Laplace

6、方程的外问题。1.Dirichlet外问题设是定义在曲面上已知的连续函数，求一函数，使得它是的外部区域内的调和函数，并在上连续，而且当时，满足物理上看，引入上述极限的条件是因为电学上总是规定无穷远点处的电位为零。数学上看，有了这个条件可以保证外问题解的唯一性。如：单位球面外求一调和函数，使其满足，则与都是上述问题的解。2.Neunmann外问题，本章我们仅讨论内问题，所用方法也适合外问题。7.1.3Laplace方程的球对称解球坐标下Laplace方程外下述形式：或若具有球对称性，不依赖于和，仅与有关，则方程简化为：共28

7、页第28页第7章Green函数法,,∴、为任意常数，取，则得球对称解为。7.2Green公式调和函数的基本性质Green公式是研究Green函数的工具，本节先介绍Green公式，再对调和函数的基本性质加以说明。7.2.1Green公式Green公式可视为微积分学中Gauss公式的两个推论，有了Green公式就可推出Laplace方程解的积分形式，并讨论解的性质。设是以足够光滑的（分片光滑）曲面为边界的有界连通区域，、、为上连续且在内有连续偏导数的任意函数，则Gauss公式（奥斯特洛格拉法斯基）公式：其中是体积之和（内），为

8、的外法线方向，是上的面积微元。设函数和在闭区域是具有连续的一阶偏导数，在内具有连续的所有二阶偏导数，在Gauss公式中，令，，。则共28页第28页第7章Green函数法即∴——Green第一公式其中：三维Laplace算子，表示的外法线方向导数。也可以写为：（1）其中，表示函数在点处的梯度。将和的位置互