数学物理方法3-5Green函数法

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1、第三章偏微分方程的定解问题第五节Green函数法§3.5Green函数法§3.5.1方程解的积分表示及Green函数的引进§3.5.2Green函数的求法和物理意义§3.5.3利用保角变换求平面区域的Green函数第三章偏微分方程的定解问题第五节Green函数法§3.5.1方程解的积分表示及Green函数的引进一拉普拉斯方程边值问题的提法u01第一边值问题（狄氏问题）ufu2第二边值问题（牛曼问题）fn3内问题与外问题复习:1.调和函数：具有二阶偏导数并且满足拉普拉斯方程P的连

2、续函数。EQ,(SSEdSEndSVdivEdxdyd)z2.高斯公式：RPdydzQdzdxRdxdy()PQRdxdydzSVxyz第三章偏微分方程的定解问题第五节Green函数法22vu3.第二Green公式：()uvvuVd()uvdSVSnnvSS()udS()uvnSdVdivuvV()dVuvuvVdnuSS(

3、)vdS()vunSdVdivvuV()dVvuuvVdnn=3,d,dVS：体积微元，边界面积微元n=2,d,dVS：平面面积微元，边界弧长微元二、格林公式的结论：11三维rxyz2221调和函数的积分表达式k11拉普拉斯方程的基本解lnln二维rxy22第三章偏微分方程的定解问题第五节Green函数法二、格林公式的结论1.Poisson方程解的积分表达式、调和函数的积分表达式拉普拉斯方程的基本解wM()0,MM011,

4、三维r()()()xx222yyzzMM0000wM()11lnln,二维r()()xx22yyMM000设uM()是上三维Poisson方程的解，即uFMM(),Mxyz(,,),BM(,){,Mr},00000MM0在VB(,)M0上，对uw和用第二Green公式得：111uF()MdV[()u]dS(BBrn)rrnMM00MMMM0第三章偏微分方程的定解问题第五节Green函数法令0，由积分中

5、值定理得：1111u1uM()[()u]dSFMdV()044nrrnrMM00MMMM0-----三维Poisson方程解的积分表达式1111u1uM()[u(ln)(ln)]dS(ln)(FMdV)022nrrnrMM00MMMM0-----二维Poisson方程解的积分表达式111uuM()[()u]dS04nrrn三维MM00MM111u二维uM()[u(ln)(ln)]dS02nrrn

6、MM00MM-----三维二维Laplace方程解（调和函数）的积分表达式第三章偏微分方程的定解问题第五节Green函数法定理3.5.1设uM()是上的调和函数,则u（1）dS0n（2）uM()满足球面(圆)平均值公式：01uM()=-uMSn()d,=3，02ò4πε¶BM(,0ε)1uM()=-uMSn()d,=20ò2πε¶BM(,0ε)注（1）为调和函数的必要条件第三章偏微分方程的定解问题第五节Green函数法uM()F,MPoisson方程边值问题：uf,

7、M利用Poisson方程解的积分表达式不能求解（边界法向导数未知）1111u1uM()[()u]dSFMdV()三维044nrrnrMM00MMMM0设vM()是上的任一调和函数（v0），由Green第二vu公式得：vFVd[uv]dS因此：nnuuM()[uGMM(,)(,)]GMMdSGMMFMdV(,)()0000其中：nn1GMM(,)vM(),M0rPoisson方程4MM0令得GM

8、M(,)0,M：第一边值问题0解的Green函uM()f()(,)MGMMSdGMMFMdV(,)()000n数表示公式第三章偏微分方程的定解问题第五节Green函数法GMM(,)(MM),MM00Green函数：GMM(,)0,M0定理3.5.2Green函数的性质G（1）dS1n（2）GMM(,)(,)GMM12211（3）0(,)GMM,M04rMM0第三章偏微分方程的定解问题第五节Gre