一、最大值和最小值定理.pdf

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1、一、最大值和最小值定理定义:对于在区间上有定义的函数If(),x第十节闭区间上连续函数的性质如果有xI0∈∈,使得对于任一xI都有fxfx()≤≥()(()fxfx())00则称fx()是函数fx()在的区间I上最大().小值0如y=1+sinx,在[0,2π]上,ymax=2,ymin=0;如y=sgnx,在(−∞,+∞)上,y=1,y=−1;maxmin在(0,+∞)上,ymax=ymin=1.定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函注:1.若区间是开区间,定理不一定成立;数在此区间上有界且一定有最大值和最小值．即：2.若区间内有间断点,定理不一定成立.若在连f()[

2、,]xab续,则∃∈ξ,ξ[,],ab使得：∀xa∈[,],b12有：ff()ξξ≥≤()x且ff()()x。12yyy=f(x)yy=f(x)y=f(x)1xxoπo122oaξξbx21二、介值定理代数上看:定义:如果使xfx()0=,则称为x函数fx()满足定理条件的方程fx()0(,)=在ab内至000的零点.少存在一个实根.定理3(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a,b]几何上看:y连续曲线弧yfx=()的上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)⋅f(b)<0),y=f(x)两个端点位于轴的不xaoξ1ξ2ξ3bx那末在开区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个

3、零同侧则曲线弧与轴,x点,即至少有一点ξ(a<ξ

4、f(a)b.证明∃ξ∈(a,b),使得f(ξ)=ξ.三、小结四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.关键词1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;2