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1、第七章数值积分和数值微分我们知道,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式求得定积分求定积分的值,Newton-Leibnitz公式无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题，因为积分学涉及的实际问题极为广泛，而且极其复杂，在实际计算中经常遇到以下三种情况：(1)被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数F(x)，例如：Newton-Leibnitz公式就无能为力了(2)还有被积函数f(x)的原函数能
2、用初等函数表示，但表达式太复杂，例如函数并不复杂，但积分后其表达式却很复杂，积分后其原函数F(x)为：(3)被积函数f(x)没有具体的解析表达式,其函数关系由表格或图形表示。对于这些情况,要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见,通过原函数来计算积分有它的局限性,因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题,这时需要用数值解法来建立积分的近似计算方法。同样对于函数f(x)的求导问题，因为在微分学中，函数f(x)的导数是通过极限定义的。若函数是以表格形式给出，或函数的表达式过
3、于复杂时，也需要研究其数值计算方法。这是本章介绍的另一个内容—数值微分。7.1数值积分概述7.1.1数值积分的基本思想积分值在几何上可以解释为由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)这四条边所围成的曲边梯形面积。如图7-1所示，而这个面积之所以难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)图7-1定积分的几何意义建立数值积分公式的途径比较多,其中最常用的有两种：（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为的矩形面积。但是点ξ的具体位置一
4、般是未知的,因而的值也是未知的,称为f(x)在区间[a,b]上的平均高度。那么只要对平均高度提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法三个求积分公式①梯形公式y=f(x)yxaby=f(x)abyx(a+b)/2②中矩形公式按照这种思想，可构造出一些求积分值的近似公式。例如分别取和则分别得到梯形公式和中矩形公式。y=f(x)abab（2）先用某个简单函数近似逼近f(x)，用的定积分代替原被积函数f(x)的定积分，即以此构造数值算法。从数值计算的角度考虑，函数应对f(x)有充分的逼近程度，并且容易计算其积分。由于多项式能
5、很好地逼近连续函数，且又容易计算积分，因此将选取为插值多项式,这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替。7.1.2插值型求积公式设已知f(x)在节点有函数值,作n次拉格朗日插值多项式式中这里多项式P(x)易于求积,所以可取作为的近似值，即其中称为求积系数。下给出如下定义：定义7.1.1求积公式其系数时，则称求积公式为插值求积公式。(7.1.1)设插值求积公式的余项为,由插值余项定理得其中当f(x)是次数不高于n的多项式时，有=0,求积公式(7.1.1)能成为准确的等式。由于闭区间[a,b]上的连续函数可用
6、多项式逼近，所以一个求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以下定义。定义7.1.2（代数精度）设求积公式（7.1.1）对于一切次数小于和等于m的多项式是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m次代数精度（简称代数精度）。定理7.1.1n+1个节点的求插值型积公式至少具有n次代数精度。证:设n+1个节点的求积公式为插值型求积公式,求积系数为又当f(x)为不高于n次的多项式时,f(x)=P(x),其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少具有n次
7、代数精度。由于n+1节点的插值求积公式至少有n次代数精度，所以构造求积公式后应该验算所构造求积公式的代数精度。例如插值求积公式(Simpson公式)有三个节点至少有2次代数精度，是否有3次代数精度呢？将f(x)=x2代入公式两端，左端和右端都等于(b4-a4)/4,公式两端严格相等，再将f(x)=x4代入公式两端，两端不相等，所以该求积公式具有3次代数精度。例7.1.1试确定一个至少具有2次代数精度的公式解:要使公式具有2次代数精度,则对f(x)=1,x,x2求积公式准确成立，即得如下方程组。解之得，所求公式为：例7.
8、1.2试确定求积系数A,B,C使具有最高的代数精度。解:分别取f(x)=1,x,x2使求积公式准确成立,即得如下方程组。所得求积公式为：对于f(x)=1,x,x2,x3都准确成立,对于f(x)=x4就不准确了，所以此求积公式3次代数精度。例7.1.3给定求积公式试确定求积系数A-1,A0,A1,使其有尽可能高的代数精度，并指出其代
