25 传播子和Feynman路径积分.ppt

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1、2.5传播子和Feynman路径积分一、波动力学的传播子不含时Hamiltonian量体系的时间演化用与H对易的观测量的本征矢展开初态可方便求得：或其中，将上述表达式改写成：即这里称为传播子。传播子与初态无关，但依赖于势。一旦能量的本征函数和本征值已知，则传播子可构造出。讨论：上式表明，若初态已知，则波函数的时间演化便完全由K确定。Schrödinger波动力学是纯粹的因果理论。受势作用的波函数的时间变化，只要系统不受扰动，便与经典力学中任何量一样完全确定。不同处：当测量介入时，波函数将转化为所测观测量的本征函数之一。该转化或

2、“投影”因观测量有多个本征函数而呈概率性，但统计上有确定的几率。二、传播子的基本性质1.传播子满足含时Schrödinger波方程（,t>t0为变量，不变）。2.（即）这两性质说明传播子可看作是t0时处于的粒子在t时刻的波函数（）对初态分布于一定空间的情况，需要做的只是将相应的波函数乘以传播子并对空间积分。这种方式相当于对不同位置的贡献求和，与静电学求电势相似（但有“相位”）：传播子其实就是含时波动方程的格林函数：和边界条件（对t

3、的势。1.一维自由粒子。P与H对易，共同本征态由可得该式可用于研究诸如高斯波包随时间扩散展开的情形2.谐振子的传播子波函数为其传播子为该式的直接证明非常复杂，需利用特殊函数的性质也可通过a和a+算符方法最方便的是利用即将描述的路径积分方法。由于传播子是以ω为角频率的时间周期函数，位于x’的粒子将在回到原位置。四、传播子的时间与空间积分空间积分：由于，取并积分相当于求坐标表象中时间演化算符的迹，故得上述结果。由于迹不随表象变，在表象中H对角，便于求出G(t)。在G(t)的表达式中若令t为纯虚数且为正实数，则G(t)演化为，与统计

4、力学的配分函数是有相同形式。因此，研究量子力学传播子的方法对统计力学也有用（反之亦然）。G(t)的Laplace-Fourier变换被积函数振荡，积分不易求。令E→E+iε,且ε→0，则可见体系的完整能谱都表现在复E—平面的的极点。研究物理体系的能谱，只要研究的解析性质五、传播子作为跃迁振幅波函数是特定位置左矢与随时间变化右态矢的内积，也可被认为是Heisenberg图象中反向时间演化的位置左矢与不随时间变化的状态右矢之乘积。类似地，传播子可写为这里和是海森堡图象中位置算符的本征左矢和右矢。因是从到态的跃迁振幅，故是t0时处于

5、的粒子在t时处于的几率振幅。或者说是由时空点到另一时空点的跃迁振幅。另种解释由于Heisenberg图象中任一时刻观测量的本征矢都可选作基矢，我们也可称为链接不同时间的两组基矢的变换函数。因此，在Heisenberg图象中，时间演化可看作改变基函数的幺正变化。这与经典动力学中物理量随时间的变化可看作由经典Hamiltonian产生的正则变换相似。六、传播子的组合性质为使时空坐标记号更对称，记为由于海森堡图象中在任意给定时间的位置态矢形成完备基，可在任意位置插入单位算符因而该性质称为跃迁振幅（传播子）的组合性质。类似地有：若知无

6、穷小时间间隔的形式，则一般的可利用传播子的组合性质而得。这种推理方式导致了Feynman的量子力学理论形式。七、作为路径求和的路径积分为简单记，讨论一维情型，并记为将t1至tN分为N-1等分，则为讨论该表达式的含义，可看如图所示的时空平面：时空的初始与终点固定，由初始到终点有不同的可能路径。对给定一路径，我们要计算其跃迁振幅，然后对各种可能路径求和，这与经典力学是有差别的。在经典力学中粒子有确定的轨迹，其路径对应于哈密顿原理所给出的路径（即作用量的变分为零）八、经典力学与量子力学路径的差别经典力学中xt-平面有一确定的路径与粒

7、子运动联系，而量子力学中所有可能路径都起作用，其中一些路径与经典路径毫无相似之处。经典力学的作用量或主函数为L是x与的函数，S要在路径确定后才有定义对每小段路径其跃迁几率为初点到终点路径的总跃迁几率为所有路径对的贡献：若，则相邻路径的贡献倾向于抵消。对最小作用量路径（经典路径），则相邻路径的S差别是二阶的，因而可相干增强。所以时挑出的轨道为经典轨道。九、Feynman路径积分公式1.无限小时间间隔的一段路径，w(Δt)只与Δt而（假定）与V(x)无关的权重因子。由于是无限小时间间隔，路径可看作直线，因而对自由粒子，已知。由于W

8、(Δt)与V(x)无关，用自由粒子情况算出：于是，对，有2.对有限时间间隔的路径其中上式即为Feynman路径积分的表达式。十、Feynman路径积分与薛定谔方程或从而对一阶Δt项有所以可见费曼路径积分的表达式与薛定谔波动方程的传播子一致（也侧面证明了w(Δt)与V无关的正确