高等量子力学 传播子和Feynman路径积分

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1、2.5传播子和Feynman路径积分一、波动力学的传播子时间无关的Haniltonian量体系的时间演化用与H对易的观测量的本征矢展开初态可方便求得：

2、α,t;t>=e−−iH(tt)/0

3、α,t>=

4、a'>

5、α,t>e−−iE(tt)/a'0000a'−−iE(tt)/ψ(x',t)=cu(t)(')exa'0或aa'0'a'其中，u(x')=

6、a'>a'3ca(t)=<'

7、,tαα>=dx''

8、'<>ax

9、,t>a'0003*=dxux'(')('

10、,t)ψxa'0将上述表达式改写成：xt"

11、,;txaate"

12、''

13、,−−iEa'0()tt/<>αα=<><>00a'dx3'"xa

14、''ax

15、''x

16、,te−−iEa'0()tt/=<><><α>0a'dx3'"xa

17、''ax

18、'(xte',)−−iEa'0()tt/=<><>ψ0a'3即ψ(x",t)=dx'K(x",t;x',t)ψ(x',t)00−−iEa'0()tt/这里Kxtxt(",;',)0=<xa"

19、'>

20、

21、'>a'称为传播子。传播子与初态无关，但依赖于势。一旦能量的本征函数和本征值已知，则传播子可构造出。讨论：上式表明，若初态已知，则波函数的时间演化便完全由K确定。Schrödinger波动力学是纯粹的因果理论。受势作用的波函数的时间变化，只要系统不受扰动，便与经典力学中任何量一样完全确定。不同处：当测量介入时，波函数将转化为所测观测量的本征函数之一。该转化或“投影”因观测量有多个本征函数而呈概率性，但统计上有确定的几率。二、传播子的基本性质K(",;',)xtxt1.传播子0满足含时

22、Schrödinger波方程（x",t>t0为变量，t0,x'不变）。3<>xx"

23、'2.lim(",;',t)Kxtx=−δ('xx")（即）0t→t0这两性质说明传播子可看作是t时处于x'的粒子在t0−iH(t−t0)/时刻的波函数（K(x",t;x',t)=

24、e

25、x'>）0对初态分布于一定空间的情况，需要做的只是将相应的波函数乘以传播子并对空间积分。这种方式相当于对不同位置的贡献求和，与静电学求电势相似（但有“相位”）：3ρ(x')φ(x)=dx'

26、

27、x−x'

28、传播子其实就是含时波动方程的格林函数：22∂3−∇"+V(x")−iK"(x",t;x',t)=−iδ(x'−x")δ(t−t)002m∂t和边界条件K(x",t;x',t0)=0（对t

29、p',p

30、p'>>=p'

31、p',>=Hp'p'2m1ip'x'/

32、p'>=e由2π21∞ip

33、'(x"−x')ip'(t−t)0K(x",t;x't)=dp'exp−可得0−∞2π2m2mim(x"−x')=exp2πi(t−t)2(t−t)00该式可用于研究诸如高斯波包随时间扩散展开的情形2.谐振子的传播子14221−iEt/1mmωωω−xm−+intω2波函数为uxe()n=expHxennn2!2nπ2mωimω其传播子为K(x"t;x't)=exp*0[]()()2πisi

34、nωt−t2sinωt−t00{()22[]()}}x"+x'cosωt−t−2x"x'0该式的证明可通过特殊函数的性质221−+−()ϑηϑ2ηξn=−+22ξexp2exp()ϑηnHHnn()()ϑη1−21−2!nξ()ξn=0+也可通过a和a算符方法或将描述的路径积分方法。由于传播子是以ω为角频率的时间周期函数，位于x’的粒子将在t=2nπ回到原位置。ω四、传播子的时间与空间积分3空间积分：Gt()≡dxKxtx''(,;',0)=

35、<dx32'

36、'xa

37、'

38、>=e−−iEtaa''//eiEtaa''由于Kxtxt()",;'=

39、−−iHtt()0/

40、'x>，取x"=x'0并积分相当于求坐标表象中时间演化算符的迹，故得上述结果。由于迹不随表象变，在

41、a'>表象中H对角，便于求出G(t)。在G(t)的表达式中若令t为纯虚数且β=it/为正实数，则G(t)演化为Ze=−xp()βEa'，与统计力学的配分函a'数是有相同形式。因此，研究量子力学传播子的方法对统计力学也有用（反