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时间:2020-01-11
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1、隔板法隔板法又称隔墙法、插板法,是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法。例1、6个相同的小球放入编号为1、2、3、4、的盒子,求下列放法的种数:⑴每个盒子都不空;⑵恰有一个盒子为空;⑶恰有两个空盒子。⑴解:00/0/00/0先把6个相同的小球排成一行,在首尾两侧的位置不看,然后在小球之间5个空隙中任选3个空各插入一块隔板有种。⑵解:0000//0/0恰有一个空盒,插板分两步进行,第一步取出一个空盒子有种,第二步在小球之间5个空隙中选2个空各插入一块隔板,有种,共有=40种。⑶解:0000/00一、将n件相同物品(或名额)分给m个人(或位置),允许若干个人(或位置)为空的问
2、题.(可以逐次插入再消序)例1、将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子,允许有盒子为空,但球必须放完,有多少种不同的方法?231二、将n件相同物品(或名额)分给m个人(或位置),每人(或位置)必须有物品问题例2、将20个优秀学生名额分给18个班,每班至少1个名额,有多少种不同的分配方法?应用1.(1)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中,问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种?(2)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中,每盒可空,问不同的放法有多少种?(3)12个相同的小球放入编号为1、2、3、4的盒子中,要求每个盒子中的小球数不小于其编号数,问不
3、同的放法有多少种?解:(1)将12个小球排成一排,中间有11个间隔,在这11个间隔中选出3个,放上“隔板”,这样每一种隔板的插法,就对应了球的一种放法,即每一种从11个间隔中选出了3个间隔的组合对应于一种放法,所以不同的放法有C(11,3)=165(种)。2)由隔板法可知:C(15,3)=455种。(3)解:用(1)的处理问题的方法。将1个、2个、3个小球放入编号为2、3、4的盒子中,将余下的6个小球放在4个盒子中,每个盒子至少一个小球,据(1)有C(5,3)=10(种)。2、从5个学校选出8名学生组成代表团,每校至少有一人的选法种数是多少?解析:按常规,从5个学校选8名学生,要考虑5个
4、学校人员的分配,需要分类讨论,太繁琐。逆向思考,假设8名学生的代表团已组建好,现将其返回到5个学校,每校至少一人,这样问题转化为将8个学生分成5组,每组至少一人,在上图中,7个空档中插入4块隔板即可将其分成5组,故有C(7,4)=35种选法。3、变式:
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