隔板法、插入法、捆绑法解决组合问题

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1、110.3组合（六）教学目标:1．掌握组合数的性质，并能应用组合数的性质解题.2．培养学生应用公式、性质的能力.教学重点: 隔板法、插入法、捆绑法解决组合问题.教学难点: 隔板法、插入法、捆绑法.教学过程:讲授新课例1．有10个相同的小球，放入编号为1、2、3的三个不同盒子，�7�6要求每个盒子非空，共有多少种放法？�7�7要求每个盒子放入的小球数不少于盒子的编号数，共有多少种放法？方法一:�7�6设x＋y＋z＝10,x≥y≥z,其正整数解为：x＝8，y＝1，z＝1；x＝7，y＝2，z＝1；x＝6，y＝

2、3，z＝1；x＝6，y＝2，z＝2；x＝5，y＝4，z＝1；x＝5，y＝3，z＝2；x＝4，y＝4，z＝2；x＝4，y＝3，z＝3．则放法有:.36443313AA�7�7先将1个、2个小球分别放入第2、3个盒子，再按�7�6放入每个盒子的小球数>0，设x＋y＋z＝7,x≥y≥z,其正整数解为：x＝5，y＝1，z＝1；x＝4，y＝2，z＝1；x＝3，y＝3，z＝1；x＝3，y＝2，z＝2．则放法有:.1533313AA方法二：隔板法.如:对应:�7�63629C�7�71526C答:�6�7

3、练习1.某中学从高中7个班中选出12名学生组成校代表队，参加市中学数学应用题竞赛活动，使代表中每班至少有1人参加的选法有多少种？611C462练习2.6人带10瓶汽水参加春游，每人至少带1瓶汽水，共有多少种不同的带法？12659C练习3.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有种不同送法.例2.已知方程x＋y＋z＋w＝100，求这个方程的正整数解的组数.练习4.已知方程x1＋x2＋x3＝50，求这个方程有多少组非负整数解.1号2号3号1号2号3号1号2

4、号3号2 隔板法：就是把“

5、”当成隔板，把考察的对象分成若干份．例3.一座桥上有编号为1，2，3�6�7，10的十盏灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，问不同的关灯方法有多少种？练习5.一条长椅上有9个座位，3个人坐，若相邻2人之间至少有2个空椅子，共有几种不同的坐法？例4.一条长椅上有七个座位，四人坐，要求三个空位中有两个空位相邻，另一个空位与这两个相邻空位不相邻，共有几种坐法？课堂小结1. 隔板法；2. 插入法；3.捆绑法.捆绑法和插空

6、法是解排列组合问题的重要方法之一，主要用于解决"相邻问题"及"不邻问题"。总的解题原则是"相邻问题捆绑法，不邻问题插空法"。在实际公务员考试培训过程中，我发现学员经常碰到这样的困惑，就是一样类型的题目，不过表达的形式有所变化，就很难用已解过的题目的方法去解决它，从而降低了学习效率。下面结合有关捆绑法和插空法的不同变化形式，以实际例题详细讲解。"相邻问题"捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，也就是将相邻元素视作一个大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法

7、．〔注〕运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题内部各元素间排列顺序的解题策略。例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人"捆绑"，视其为"一个人"，也即对"A，B"、C、D、E"四个人"进行排列，有种排法。又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。根据分步乘法原理，总的排法有种。例2．有8本不同的书；其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本．若将这些

8、书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的3排法共有多少种．(结果用数值表示)解：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有A(5,5)种排法；又3本数学书有A(3,3)种排法，2本外语书有A(2,2)种排法；根据分步计数原理共有排法A(5,5)A(3,3)A(2,2)=1440(种).【解析】：把3本数学书"捆绑"在一起看成一本大书，2本外语书也"捆绑"在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排

9、法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。【王永恒提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意"捆绑"起来的大元素内部的顺序问题。解题过程是"先捆绑，再排列"。6个球放进5个盒子，有多少种不同的方法？其实，由抽屉原理可知，必然有两个球在一起。所以答案是C（6,2）XA(5,5)其实就是6取2，与5的阶乘的积1、有10本不同的书：其中数学书4本，外语书3本，语文书3本。若将这些书排成一列放在书架上，让数学书