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1、求轨迹方程高二数学组崔建欣学习如几何曲线幸福似小数循环.教学目标：1、知识与能力:会求各种曲线的方程2、过程与方法:会用直接法、相关点法、定义法求曲线的方程3、情感态度与价值观：培养合作探讨、勇于创新的精神，渗透事物之间等价转化的辩证唯物主义观点重点：会用相关点法求曲线的轨迹方程难点：灵活运用各种方法求轨迹方程[分析]设动点坐标―→寻求几何条件―→将几何条件坐标化(解析法)―→求轨迹方程．直接法求曲线的方程例1两个顶点A,B的坐标分别(-6,0)(6,0)，边AC，BC所在直线的斜率之积等于求顶点C的轨迹方程解：设C(x,y)，当x=6时，直线BC斜率不
2、存在；当x=-6时，直线AC斜率不存在，均不合题意；当时，[点评]1.直接法求轨迹方程是常用的基本方法，大多数题目可以依据文字叙述的条件要求，直接“翻译”列出等式整理可得．2直接法步骤是：建系设点、列等式、代换、化简、证明“五步法”．在解题时，根据题意，正确列出方程是关键，还要注意最后一步，如果有不符合题意的特殊点要加以说明．一般情况下，求出曲线方程后的证明可以省去．学后反思当动点所满足的条件本身就是一些几何量的等量关系或这些几何条件简单明了易于表达时，只要将这种关系“翻译”成含x、y的等式就能得到曲线的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称之为直接法，也叫直
3、译法.思考：若将例1中改为结果是什么？结论：平面内的动点到两定点的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线.其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点.当常数大于-1小于0时为椭圆;当常数大于0时为双曲线.[解析]如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的充要条件，得
4、MC1
5、=r+1
6、MC2
7、=r+3定义法求曲线方程[点评](1)本题是用定义法求动点的轨迹方程，当判断出动点的轨迹是双曲线的一支，且可求出a、b时，直接根据定义写出其标准方程，而无需用距离公式写出方程，再通过复杂的运算进行化简．(2)由于动点M到两定点C2、C1的距离的
8、差为常数，而不是差的绝对值为常数，因此，其轨迹只能是双曲线的一支．这一点要特别注意！变式训练及其解答过程已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，从任一焦点引的外角平分线的垂线，垂足为Q，求点Q的轨迹方程。解：如图延长交的延长线于点M，可得为等腰三角形，故,所以连接QO,可知，QO为的中位线故,所以点Q的轨迹是以O为圆心，4为半径的圆。其方程为相关点代入法求曲线的方程例3已知x轴上一定点A（1,0），Q为椭圆上一动点，求线段AQ中点M的轨迹方程解设M（x,y)Q()因为Q在椭圆上，所以AMQxy所以点M轨迹方程为点评： 在这个题目中，有两个动点Q,M，其
9、中Q为主动点，M为从动点；主动点Q在已知曲线上运动。也就是说这种问题的辨别特征是：【1】有主动点和从动点两种动点【2】主动点在已知曲线上运动AMQxy这种根据已知动点的轨迹方程，求另外一点的轨迹方程的方法称为代入法或相关点法.一般地，定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法．请做下面变式练习，并思考此种题目解题程序变式训练1将例3中条件改为若，求M的轨迹方程.2改为：求椭圆关于点（3,4）对称的曲线方程总结：相关点法的判别与程序判别：看题目是否具有下列两个条件【1】有主动点和从动点两种动点【2】主动点在已知曲线上运动程序:①设主动
10、点坐标为()，从动点坐标为（x,y） ②找到主动点坐标与从动点坐标之间的两个等式关系，即与x,y之间的关系 ③从两个等式中消去，所得的关于x,y的等式就是从动点轨迹方程 简称：①设坐标②找等式③消参数参数法求曲线方程例4在平面直角坐标系中，O(0,0)A（1,0）B（2,2）若点C满足，其中求点C轨迹方程解设C(x,y)点C的轨迹方程为2x-y-2=0[点评]用参数法求轨迹方程时，一要选好参数，将动点的横、纵坐标表示成参数的形式；二要掌握消参的技巧．3.点P是圆上的动点，O是坐标原点，求线段OP的中点Q的轨迹.变式训练解：做简图如图圆的参数方程为(θ为
11、参数)所以点P的坐标为(4+2cosθ,1+2sinθ)设Q点的坐标为(x,y)由中点坐标公式得化简得4.过抛物线的顶点O引两条互相垂直的直线分别与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程.变式训练解析：由题意知，两直线的斜率都存在.设直线OA的斜率为k，则OA:y=kx,OB:由得同理由得设P(x,y),则(1)(2)……学后反思本题运用了参数法求轨迹.当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t,并用t表示动点的坐标x、y，从而得到动点轨迹的参数方程消去参数t，便可得到动点P的轨迹方程.其中应注意方程的等价性和参数
12、t与动点P(x,y)关系的密切性.由，得即故线段AB的中点P的轨迹方程为练习1点
