常微分方程期末试卷(A卷).pdf

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1、一、填空题(5×6=30)1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.fx(),()y分别为xy,的连续函数.2、形如的方程，称为伯努利方程，这里PxQx(),()为x的连续函数,n0,1引入变量变换可化为线性微分方程.3、方程Mx,ydxNx,ydy0它有只含x的积分因子的充要条件是________,有只含y的积分因子的充要条件是__________.4、如果存在常数L0,使得不等式对于所有（xy,),(,xy)R都成立，称函数f(x,y)在12R上关于y满足利普希兹条件，其中L为利普希兹常数.5、形如的方程，称为欧拉方程，这里aa,,,a是常数.1

2、2n6、设(t)是xAx的基解矩阵，(t)是xA(t)xf(t)的某一解，则它的任一解(t)可表为.二、求下列方程的通解(10×4=40)dyy21、求方程6xy的通解.dxxdyyxy2、求方程e的通解.dxx2t3、求方程x''6x'5xe的通解.224、yy12ydy2三、求方程xy通过点（00,）的第三次近似解.（10）dx四、证明题（10×2=20）2011、试验证()ttt是方程组，xx1，在任何不包含原点的区间x22x2t12x2ttatb上的基解矩

3、阵.2、设t为方程组xAx（A为nn的常数矩阵）的标准基解矩阵（即0E），证明:1t0(tt0)，其中t0为某一值.四川民族学院数学系《常微分方程》期末考试卷(A)评分标准既参考答案一、空题(5×6=30)dydyn1n1、f(x)(y)2、P(x)yQ(x)yz=ydxdxMx,yNx,yMx,yNx,yyxyx3、x，yNM4、f(x,y)f(x,y)Lyy1212nn1ndyn1dydy5、xaxaxay0n1n1n1ndxdxdx6、

4、()t()tC()t，C为常向量二、求下列方程的通解(10×4=40)21、解这是n2时的伯努利方程，两边除以y，有12dyyy6x……(3分)dxx1dz2dy令zy,算得y……..(5分)dxdxdz6代入原方程得到zx，这是线性方程，求得它的通解为dxx2cxz………………..(8分)6x82681cxxx带回原来的变量y，得到=或者c，这就是原方程的解.此外方程还6yx8y8有解y0.…………..(10分)xydyxyyxey2，解e..(2分)dxxxxyxdy(xey)dxxyxdyydxxed

5、x…………..(5分)xydxyxedxdxyxdx……………..(8分)xyexy12积分：exc212xy故通解为：xec0………..(10分)223、解：齐线性方程x''6x'5x0的特征方程为650，1,5，……………..(2分)12t5t故通解为x(t)cece…………..(4分)122t2不是特征根，所以方程有形如x(t)Ae……..(6分)2t2t2t2t把x(t)代回原方程4Ae12Ae5Aee1A………………..(8分)21t5t12t于是原方程通解为x(t)cecee……

6、…..(10分)12214、解：令2yyt则原方程消去y后，有……..(2分)222y1ytyt12由此得yt,y1t…..(5分)tdy1dxdt2yt11所以xdtcc…………..(8分)2tt1xct故原方程的通解为…………..(10分)1ytt三、解(x)0..(1分)0x22x(x)[x(x)]dx…………..(4分)1020x252xx(x)[x(x)]dx…………..(7分)212200x258112xxxx(x)[x(x)]dx…………..(10

7、分)3222016044000四、证明题（10×2=20）2t1、证明：令t的第一列为(t)=12t2t01()t=22()t，故()t是一个解.…………..(3分)1211t2tt同样t第二列为t，21101()t==22()t，()t也是一个解.………..(6分)2022t2t2因此t是解矩阵。又因为dettt0,(t0),故t是基解矩阵.……(10分)2、证明：1由于t