常微分方程期末试卷(a)

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1、广西师范大学漓江学院试卷（2008—2009学年第二学期）课程名称：常微分方程课程序号：开课院系：理学系任课教师：陈迪三年级、专业：07数学考试时间：120分钟考核方式：闭卷■开卷□试卷类型：A卷■B卷□得分评卷人一、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)(请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分).1、方程有积分因子的充要条件为.2、连续是保证对满足利普希茨条件的充分条件条件．3、函数组的朗斯基行列式值为．4、若是二阶齐次线性微分方程的基本解组，则它们无(有或无)共同零点．5、若矩阵具有个

2、线性无关的特征向量，它们对应的特征值分别为，那么常系数线性方程组的一个基解矩阵=.得分评卷人二、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分.)(请在每小题的括号中填上正确答案，错填、不填均无分)1、形如的方程是（D）.A．欧拉方程B．贝塞尔方程C．黎卡尔方程D．伯努力方程第6页共4页2、设连续，是在上的两个线性无关解，且，则（A）.（A）（B）（C）（D）3、二阶非齐次线性微分方程的所有解（C）．（A）构成一个2维线性空间（B）构成一个3维线性空间（C）不能构成一个线性空间（D）构成一个无限维线性空间

3、4、如果，都在平面上连续，而且有界，则方程的任一解的存在区间（A）．（A）必为（B）必为（C）必为（D）将因解而定5、若是齐次线性方程组的一个基解矩阵，为非奇异常数矩阵，那么是否还是此方程组的基解矩阵（B）.(A)不是　　　(B)是　　(C)也许是　　　(D)也许不是得分评卷人三、计算题(本题共4小题，每小题6分，共24分)(求下列微分方程的通解).得分1、；1、解：将方程变为.............................（2分）则有..........................（1分）从

4、而得(为任意的常数）．…………………………（3分）第6页共4页1、；解：由于，所以原方程是恰当方程．（2分）假设存在使得它同时满足方程：和（1分）则有且，所以（2分），即原方程的通解为：..............................（1分）2、；解：齐次方程的特征方程为齐次方程的通解为……………………（2分）令，并求其特解如下：由于是单根，故设特解为代入原方程比较系数得所以则原方程有特解……………………（3分）故原方程的通解为……………………（1分）3、；解：令方程的解为，代入原方程有…………

5、…（3分）于是（二重）（1分）故原方程的通解为（2分）得分评卷人三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)(写出解题的详细步骤).得分（1）设函数连续且满足，求.第6页共4页解：两边关于求一阶导数，有…………………（2分）两边关于再求一阶导数，得…………………（2分）即而且………………（1分）而方程的解表示为………………（3分）由，可得…………………（2分）（2）求方程组满足初始条件的解.解：方程组的特征方程为，所以特征根为（二重）……………………（2分）对应齐次方程组的基解矩阵………………（3分）

6、满足初始条件的特解……………（2分）……………………（3分）得分评卷人五、证明题(本大题共2小题，每小题13分，共26分)(写出解题的详细步骤，空间不够请将答案写在试卷背后).1、假设是二阶齐次线性方程的解，其中在区间上连续，试证：（1）是方程的解的充要条件为：；（2）方程的通解可以表示为：，其中为常数,.第6页共4页证：（１）……………………（6分）（２）因为为方程的解，则由刘维尔公式……………………（3分）两边都乘以则有：，于是：……………………（4分）第6页共4页2.设和是方程的任意两个解，求证：它们

7、的朗斯基行列式，其中为常数.证明：因为方程的任意两个解所以，……………………（4分）于是构成的伏朗斯基行列式……………（5分）由于和是方程的解，因此，所以，故…（4分）学号：姓名：所属院系：年级：专业：装订密封线考生答题不得出现红色字迹，除画图外，不能使用铅笔答题；答题留空不足时，可写到试卷背面；请注意保持试卷完整。第6页共4页