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1、学习数学，领悟数学，秒杀数学。关于平口单峰函数（绝对值）的一些秒杀方案一．平口二次函数问题去掉二次函数的的坐标系，二次函数的一切只跟一个系数有关，就是a，一切b，c这些系数与二次函数的2平移变换2形状没有任何影响.在初中的课本中提到的y=axy=a(x-h)+k，我们将坐标轴去掉，单纯研2究二次函数，解决当f(x)=x+bx+c，xÎ[p，q]时，f(x)£c，求c最小值问题.由于有了绝对值，函数成为了平口型，即解决抛物线在水平跨度范围内的竖直范围.图1图2图3如图1，我们将二次函数在一个固定的纵坐标时，两个交点之间的距离
2、叫蝶宽2m，此时函数定顶点到蝶宽n弦的距离称为蝶高n，相对应的角叫蝶角，定义tana=，可以得出以下定理：m①tana=m，即蝶宽与蝶角正切值相等，蝶宽越大，蝶角越大；2②以对称轴为中心，每增加m的蝶宽，相对应的蝶高比为1:4:9::n，增加的蝶高n比为1:3:5::2n-1；③如图2，处于同一单调区间时，最大值M和最小值m的差值g(x)=M-m在区间距离对称轴越近时越小，离对称轴越远时越大；处于两个不同单调区间时，g(x)=M-m在区间中点距离对称轴越近时越小，离对bp+qbb称轴越远时越大，故当仅当对称轴为中点
3、-=时，g(x)min=M-m=f(q)-f-=f(p)-f-；2222p+q综上，如图3，当M+m=0，f(x)£c时，c取得最小值，此时m=f，M=f(p)=f(q).222例1：在f(x)=x+px+q中，找出使得maxx+px+q，-1x1取得最小值时的函数表达式为2解：根据平口二次函数定理可知当仅当M+m=0时，maxx+px+q,-1x1能取得最小值，此时1M=f(1)=f(-1)1+p+q=1-p+qÞp=0；又m=f(0)=q，M+m=1+q+q=0Þq=-；221f(x)=x-,xÎ[-1,1].22
4、例2：设函数f(x)=x+ax+b，对于任意的实数a,b，总存在x0Î[0,4]，使得f(x0)³t成立，则实数t的取值范围是。2解：根据题意，需要找到f(x)max,0x4，不妨设g(x)=x+ax+b,xÎ[0,4]，g(x)max=M,g(x)min=m，a根据平口二次函数定理：当M=g(0)=g(4)Þ-=2Þa=-4；且m=g(2)=4+2a+b=b-4，又由于M+m=0，2故b+b-4=0Þb=2，f(x)max=2，综上，当t£2时，总存在x0Î[0,4]，使得f(x0)³t成立.总结：平口函数就是在区间的左
5、右端点同时取最大值（最小值）的一类函数总称.平口二次函数由于其特殊的对称性，能在区间的算数平均数中点取到另一个最值.学习数学，领悟数学，秒杀数学。二．平口对勾函数问题a对勾函数涉及极值偏移，算数平均数的中点的值不代表最值，f(x)=x++b,xÎ[p,q]时，f(x)£c，求xc最小值问题，根据平口二次函数的推论，可以知道是f(p)=f(q)，如图4，求出参数a以后再根据f(p)+f(a)=0确定参数b；定理：当仅当a=pq时，对勾函数在区间[p,q]才能构成平口对勾函数，f(x)去最小值时取到了[p,q]的几何平均数中点
6、.图411例3：（2018台州期末）已知f(x)=x+-ax-b，当xÎ,2时，设f(x)的最大值为M(a,b)，则M(a,b)x2最小值为11解：M(a,b)为最小时，函数一定为平口函数，构造g(x)=x+-ax-b,xÎ,2，根据平口函数性质可得：x2191g=g(2)Þa=0，又因为g(1)+g(2)=0Þb=，M(a,b)最小值为g(1)=.2442例4：（2018青浦区二模）设函数f(x)=-ax-b，对于任意的实数a,b，总存在x0Î[1,2]，使得f(x0)³mx成立，则实数m的取值范围是。2解：由f(x0
7、)³m，可知f(x)为平口函数，构造g(x)=-ax-b，一定有g(1)=g(2)，则a=-1，又因为x3+223-22当x=2时，g(x)取得最小值，g(1)+g(2)=0Þb=，g(x)max=g(1)=³m.22三．平口三次函数问题三次函数涉及到双峰问题，我们需要在给定的定义域内构造出单峰三次函数（即部分图像，通常是极大值到极大值等值点这一段），如下图，若x1，2，我们可在此区间构造单峰函数.学习数学，领悟数学，秒杀数学。3【例5】（2019•武汉调研）：已知函数fxxaxb的定义域为[1,2]
8、，记fx的最大值为M，则M的最小值为（）A.4B.3C.2D.333解：构造平口单峰fxx3xa3xb，不难发现yx3x在x[1,2]为平口单峰，且极值点f(p)-f(x0)2-(-2)x1，根据秒杀秘籍得M的最小值为==2，故答案选C.022秒杀秘籍：关于平口函数的万能
