平口单峰函数(野猪)

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1、构造“平口单峰”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线”一、新增此方法的的简单推广（16天津卷）。二：引理证明bug修正。下面这些问题相信长期混群的人都不陌生，提问频率颇高。大多数时候的解答为绝对值不等式配凑以及“切比雪夫最佳逼近直线”。然后，没有人对最佳逼近直线给过论证，只是一句话带过。本文将给出一种极其简洁的做法及解释。x1x11.fx()4a2bab,(,R),，若对任意的x[0,1]，

2、()

3、fx都成立，则b=_____。242.设函数fx()

4、ax

5、，若对任意的正实数a,总存在x[1,4]，使得fx()m，则实00x数m的取值范围是______。3.设函数f

6、x()

7、xaxbabR

8、,,，若对任意实数a,b,总存在实数x[0,4]，使得0fx()m成立，则实数m的取值范围为_______。024.已知函数fx()

9、xaxb

10、在区间x[0,]c内的最大值为M，(,abRc,0为常数)，且存在实数ab,使得M的最小值为2，则a+b+c=_______。25.已知fx()x(a4)x3a对任意a[0,4]，均存在x[0,2]，使得

11、()

12、fxt成00立，则t的取值范围是______。26.设函数fx()

13、axb

14、，若对于任意实数a,b，总存在x[1,2]，使得fx()m成00x立，则实数m的取值范围是_

15、______。27.设函数fx()

16、xaxb

17、，若对于任意实数a,b，总存在x[0,4]，使得fx()m成00立，则实数m的取值范围是_______。118.已知函数fx()

18、xaxb

19、，当x[,2]时，设fx()的最大值为Mab(,)，则x2Mab(,)的最小值为______。229.首相系数为1的二次函数fx()xpxq中，找出使得max

20、xpxq

21、,1x1取最小值时的函数表达式。110.（09湖北压轴）在R上定义运算：pq(pc)(qb)4bc(b、c为常数).记32f1(x)x2c，f2(x)x2b，xR.令f(x)f1(

22、x)f2(x).(Ⅲ)记gx()fx()(1x1)的最大值为M.若M≥k对任意的b、c恒成立，试求1k的最大值.11.fx()ln(x1)axb，x[0,1]，对于任意的ab,，求

23、()

24、fx最大值的最小值。从浙江余姚的李旌根老师所发的一个问题解答中得到灵感，现将解决方案整理如下。弱弱的引理：若fx()为[,]mn上的连续单峰函数，且fm()fn()，x为极值点，则0

25、()fnfx()

26、0当k,b变化时，gx()

27、()fxkxb

28、的最大值的最小值为.当且仅当2fn()fx()0k0,b时取得。2这个引理的图像感受十分明显，但考虑到我也不是一个随便的人，还

29、是弱弱的写点废话证明一下。不妨以(,),(,)mxxn为例.如图00fn()fx()0下用反证法证明kmbknb,均等于.2fn()fx()fn()fx()00（1）若两者其一小于，不妨设knb，22fn()fx()0此时fn()(knb).矛盾.2fn()fx()fn()fx()00（2）若kmb,knb，22fn()fx()fn()fx()fn()fx()000或kmb,knb。则有kxb0222fn()fx()0此时kxfx().矛盾.002fn()fx()0所以kmbknb，引理得证。2有个这个平口单峰函数，如8

30、题这种“天然”平的那不是直接秒了？11例1、题目8.已知函数fx()

31、xaxb

32、，当x[,2]时，设fx()的最大值为Mab(,)，x2则Mab(,)的最小值为______。11惊喜的发现x在x[,2]上已经是“平口单峰”函数，极值点为1，好幸运。x212221所以Mab(,)的最小值为.（是不是很快很暴力）24BUT，尴尬的是，除了8以外，其余各题除一次函数以外的部分都不是“平口单峰”函数.下面以7来分析分析.2例2、题目7.设函数fx()

33、xaxb

34、，若对于任意实数a,b，总存在x[0,4]，使得0fx()m成立，则实数m的取值范围是_______。02PS

35、：现在我们希望看到绝对值里面是一个“平口单峰”函数与一个一次函数，其实一次函数22都是酱油，系数丑不丑无所谓，所以可以考虑为x配凑一个一次式，使xx成为[0,4]上的“平口单峰”函数。那么很明显，由0,4函数值相等就可以求出4.20(4)解：fx()

36、x4x(a4)xb

37、，则fx()最大值的最小值为2.2所以m2.PS：也可以顺便得到（a4）0,b-2a4,b2时