平口单峰lys

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1、平口单峰lys构造“平口单峰”函数解决一些恼人的“切比雪夫最佳逼近直线”吴剑（野猪）4/4平口单峰lys121、f(x)=4x+1+a×2x+b,(a,bÎR),若对任意的xÎ[0,1],f(x)恒成立，则b=4/4平口单峰lys4/4平口单峰lysm2、设函数f(x)=

2、4-ax

3、,若"aÎR*总$xÎ[1,4],使得f(x),则实数m的取值范围是4/4平口单峰lysx004/4平口单峰lysx3、设函数f(x)=

4、-ax-b

5、,a,bÎR，若"a,bÎR，总$x0Î[0,4],使得f(x0)m成立，4/4平口单峰lys则实数m的取值范围为4、已知函数f(x)=

6、x

7、2+ax+b

8、在区间xÎ[0,c]内的最大值为M,(a,bÎR,c>0为常数)，且存在实数a,b使得M的最小值为2，则a+b+c=4/4平口单峰lys5、已知f(x)=x2+(a-4)x+3-a,"aÎ[0,4],均存在xÎ[0,2]使得

9、f(x)

10、t成立，则t4/4平口单峰lys00的取值范围是4/4平口单峰lys6、已知函数f(x)=

11、2-ax-b

12、,若"a,bÎR*,总存在xÎ[1,2],使得f(x)m成立，则实数4/4平口单峰lysx00m的取值范围7、设函数f(x)=

13、x2+ax+b

14、,若"a,bÎR*,总存在xÎ[0,4]使得f(x)m成立，则实数m00的取值

15、范围是8、已知函数f(x)=

16、x+1-ax-b

17、,当xÎ[1,2]时设f(x)的最大值为M(a,b)，则M(a,b)x2的最小值为9、函数f(x)=x2+px+q中，找出使得max

18、x2+px+q

19、,xÎ[-1,1]取得最小值时的函数表达式10、（09湖北压轴）在R上定义运算Ä:pÄq=-1(p-c)(q-b)+4bc(b,c为常数)，记34/4平口单峰lys1f(x)=x2-2cf2(x)=x-2b,xÎR,令f(x)=f1(x)Äf2(x)4/4平口单峰lys4/4平口单峰lysk记g(x)=

20、f¢(x)

21、,xÎ[-1,1]的最大值为M若M对任意的b,c恒成立，试

22、求k的最大值4/4平口单峰lys11、f(x)=ln(x+1)+ax+b,xÎ[0,1],对任意的a,bÎR,求

23、f(x)

24、的最大值的最小值引理：若f(x)为[m,n]上的连续单峰函数，且f(m)=f(n),x0为极值点，则当k,b变化时，4/4平口单峰lysg(x)=f(x)-kx-b的最大值的最小值为f(n)-f(x0).当且仅当24/4平口单峰lys4/4平口单峰lysk=0,b=f(n)+f(x0)时取得.24/4平口单峰lys这个引理的图像感受十分明显，但考虑到我也不是一个随便的人，还是写点废话证明一下不妨以(m,x0)上单调递减，(x0,n)上单调递增为例：

25、如图下面用反证法证明km+b,kn+b均等于f(n)+f(x0)24/4平口单峰lysf(n)+f(x)(1)若两者其一小于0,不妨设kn+b<2f(n)+f(x0)24/4平口单峰lys此时f(n)-(kn+b)>f(n)-f(x0)，矛盾24/4平口单峰lys(2)若km+bf(n)+f(x0),kn+b>f(n)+f(x0)4/4平口单峰lys224/4平口单峰lys或km+b>f(n)+f(x0),kn+bf(n)+f(x0)4/4平口单峰lys则有kx0+b>22f(n)+f(x0)24/4平口单峰lys此时kx-f(x)>f(n)-f(x0)矛盾

26、4/4平口单峰lys00所以km+b=kn+b=2f(n)+f(x0),引理得证24/4平口单峰lys例题1、题目8、已知函数f(x)=x+1-ax-b，当xÎ[1,2]时，设f(x)的最大值为M(a,b)，x2则M(a,b)的最小值为.4/4平口单峰lys1方法①：惊喜的发现x+当xÎ[1x21+2-2,2]时已经是“平口单峰”函数，极值点为1，好幸运，所以4/4平口单峰lysM(a,b)的最小值为2=1.24方法②：令t=M(a,b)=max{f(1),f(1),f(2)}，即24/4平口单峰lyst=M(a,b)=max{2-a+b,5-2a-b,25-122

27、a-b}，则4/4平口单峰lyst³2-a+b,t³5-2a-b,t³25-122a-b，所以4/4平口单峰lys6t³6-3a+3b,t³5-2a-b,2t³5-a-2b，所以6t³5-6+5=3.所以t³1.所以4/4平口单峰lys2M(a,b)的最小值为1.42244/4平口单峰lys例题2、题目7、设函数f(x)=

28、x2+ax+b

29、,若"a,bÎR*,总存在xÎ[0,4]使得f(x)m成00立，则实数m的取值范围是解析：现在我们希望看到绝对值里面是一个“平口单峰”函数与一个一次函数，其