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1、光电图像处理课程内容第一章绪论第二章图像处理基础知识第三章空域图像增强第四章图像变换第五章频域图像增强第六章图像恢复第七章二值图像及形态学图像处理第八章彩色图像处理第九章图像编码光电图像处理第四章图像变换傅里叶变换-FT快速傅里叶变换-FFT第四章图像变换光电图像处理§4.1傅里叶变换一、背景Background•法国数学家傅里叶(生于1768年)在1822年出版的《热分析理论》一书中指出:任何周期函数都可以表达为加权的不同频率的正弦和/或余弦和的形式,即傅里叶级数。•非周期的函数可以用正弦和/或余弦乘以加权函数的积分来表示,即傅里
2、叶变换。•用傅里叶级数或变换表示的函数特征可以完全通过傅里叶反变换来重建,不丢失任何信息。•20世纪50年代后期,快速傅里叶变换算法出现,得到了广泛的应用。第四章图像变换光电图像处理二、一维傅里叶变换及其反变换连续函数f(x)的傅里叶变换F(u):j2uxF(u)f(x)edx傅里叶变换F(u)的反变换:j2uxf(x)F(u)edu离散函数f(x)(其中x=0,1,2,…,M-1)的傅里叶变换:M11j2ux/MF(u)f(x)eu0,1,2,...,M1Mx0F(u)的傅里叶反变换:M
3、1j2ux/Mf(x)F(u)ex0,1,2,...,M1x0第四章图像变换光电图像处理傅里叶变换可以看作数学的棱镜,将函数基于频率分成不同成分,使我们能通过频率成分来分析一个函数。傅里叶变换在极坐标下表示:j(u)F(u)F(u)e22频谱F(u)R(u)I(u)I(u)相位谱(u)arctanR(u)22功率谱P(u)R(u)I(u)ju2x注:欧拉公式eucos2xjsin2ux第四章图像变换光电图像处理•当曲线下的面积在x域加倍时,频率谱的高度也加倍;•当函数的长度加倍时
4、,相同间隔下频谱中零点的数量也加倍。第四章图像变换光电图像处理三、二维离散傅里叶变换及其反变换图像(M×N)的灰度函数f(x,y)的离散傅里叶变换F(u,v):M1N11F(u,v)f(x,y)ej2(ux/Mvy/N)MNx0y0u0,1,2,...,M1v0,1,2,...,N1F(u,v)的反变换:M1N1f(x,y)F(u,v)ej2(ux/Mvy/N)u0v0u0,1,2,...,M1v0,1,2,...,N1第四章图像变换光电图像处理二维离散傅里叶变换在极坐标下表示:
5、juv(,)Fuv(,)Fuve(,)22频率谱F(u,v)R(u,v)I(u,v)I(u,v)相位谱(u,v)arctanR(u,v)22功率谱P(u,v)R(u,v)I(u,v)第四章图像变换光电图像处理>>f=imread('4-1.bmp');>>F=fft2(f);>>S=abs(F);>>imshow(S,[])图像大小:512×512白色矩形:20×40(4-1.bmp)频谱图第四章图像变换光电图像处理xyf(x,y)(1)傅里叶变换的原点[即F(0,0))为(M/2,N/2)]。x
6、y[f(x,y)(1)]F(uM/2,vN/2)第四章图像变换光电图像处理y>>f=imread('4-1.bmp');>>F=fft2(f);>>Fc=fftshift(F);>>S=abs(Fc);>>imshow(S,[])>>S2=log(1+S)*0.5;>>imshow(S2,[])光电图像处理离散傅里叶变换实例第四章图像变换光电图像处理离散图像在原点的傅里叶变换等于图像的平均灰度值:M1N11j2(ux/Mvy/N)F(u,v)f(x,y)eMNx0y0M1N11F(0,0)f(
7、x,y)MNx0y0第四章图像变换光电图像处理M1N11j2(ux/Mvy/N)F(u,v)f(x,y)eMNx0y0每个F(u,v)项包含了被指数修正的f(x,y)的所有值。因此,一般情况下不可能建立图像特定分量和其变换之间的直接联系。频率域的中心区域对应图像中变化慢部分,离开频率域的中心时,较高的频率开始对应图像中变化较快的部分(如:物体的边缘等)。第四章图像变换光电图像处理四、离散傅里叶变换的性质1.平移性:f(x,y)F(u,v)[j2(cxdy)/]NFucvd(,)(fxye,)[j2
8、(aubv)/]Nfxayb(,)(Fuve,)[j2(cxdy)/]NF{(,)fxye}推NN111[j2(cxdy)/][j2(Nuxvy)/]N导(,)fxyeeNxy00NN111