概率论与数理统计(李慧斌)复习大纲 第6章 点估计 point estimation.pdf

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1、概率论与数理统计(李慧斌)复习大纲Chapter6pointestimation点估计6.1StatisticalInference统计推断1.PopulationandsamplePopulation：acollectionofobjectsofinterest，研究对象的全体集合RandomSample：随机变量{Xn}组成n个随机样本，满足：1)每个Xi都是独立的随机变量2)每个Xi都有相同的概率分布随机样本的联合分布2.Statistic统计数据从这些数据中，我们试图提取出几个概括的数字，这些数字可能用来

2、描述数据集并传达其一些显著特征。统计数据是任何可以从样本数据计算值的量。注：统计量是随机变量，用大写字母表示；小写字母表示统计量的计算值或观察值。统计量的值完全由样本数据决定。一个T=T(X1,X2,…,Xn)是一个随机变量。统计量的分布通常称为抽样分布。例：一些关键的统计数据1、样本均值SampleMean它衡量样品的位置（中心），可以用来做出关于样本总量平均μ。2、样本方差SampleVariance它衡量与样本均值的偏差，可以用来作出关于样本总量方差的平方σ23、样本标准差Samplestandarddev

3、iation注：S2的求解动机当样本总量是有限的且由n个值组成时，样本总量方差为1、然而，μ的值几乎是未知的，因此必须使用关于的平方差的总和。2、但xi倾向于接近它们的平均值而不是样本总数平均μ，所以为了弥补这个缺点，使用除数n-1而不是n。样本k阶矩：样本k阶中心矩：显然对于样本数据，，点估计(PointEstimation)统计推断(Statisticalinference)几乎总是指向绘制关于一个或多个参数（总量特征）的某些类型的结论。给定一个感兴趣的参数，例如总体平均值μ或总体比例p，点估计的目标是使用样

4、本来计算在某种意义上表示对参数的真实值的良好猜测的数字。由此产生的数字称为点估计。例：假设某生产线的灯泡寿命服从正态分布N（μ,σ2），其中μ,σ2未知。现在随机选择5个灯泡，测试使用寿命为15291513160015271411试估计μ,σ2的值。解：将样本数据代入X和S2，得到样本均值和样本方差的观测值。因此，我们的μ,σ2估计值分别为1516和4595。一个参数θ的点估计(pointestimate)是一个单一的数，可以看作是θ的一个敏感值。通过选择合适的统计量，并从给定的样本数据计算其值来获得点估计。所选

5、择的统计量称为θ的点估计量(pointestimator)。例：一家汽车制造商开发了一种新型的保险杠，这种保险杠应该能吸收冲击力，而且比之前的保险杠损伤小。制造商已经使用这个保险杠，用其小型车模型进行25次碰撞墙壁实验。设X＝导致汽车没有明显损坏的撞车次数。要估计的参数是p=P（在一次碰撞中没有损坏）。如果X是x＝15，则最合理的估计量和估计是我们现在讨论两种获得点估计的“构造”方法：矩方法和最大似然法。6.2MaximumLikelihoodEstimation最大似然法，MLE最大似然法最初是由20世纪20年

6、代遗传学家和统计学家R.A.Fisher介绍的。最大似然估计可以应用于大多数问题，它具有很强的直觉吸引力，并且常常会产生一个合理的估计量（对于n很大时更好）。它是统计学中应用最广泛的估计方法之一。例：有某公司生产的十辆新自行车头盔样品。经测试，发现第一、第三和第十头盔有缺陷，而其他没有。设p＝P（有缺陷的头盔）并定义X1，…X10的Xi＝1如果第i头盔有缺陷，Xi＝0则不然。然后观察到的Xi是1，0，1，0，0，0，0，0，0，1。如何估计p？它被称为最大似然估计，因为对于固定的X1，…X10，它是使观测样本的似

7、然最大化的参数值。最大似然估计是最大似然函数的参数θ的值，因此用Xi代替xi的就是最大似然估计过程。注：似然函数(likelihoodfunction)告诉我们观测到的样本是如何作为可能的参数值的函数。最大化似然性给出了观测样本最有可能产生的参数值，即与观测数据“最接近一致”的参数值。如何进行最大似然估计？1、列出似然函数2、取对数(Takelogarithm)3、求偏导，并将偏导赋值为04、求出方程的解然后用Xi代回xi例题：Property(Thm6.3.1)6.3TheMethodofMoments矩估计法

8、该方法的基本思想是将某些样本特征（如平均值）等同于相应的总体期望值。然后求解未知参数值的这些方程产生估计量。复习：第k个总体矩/分布的第k矩为第k样本矩因此第1个总体矩为以及第1样本矩为第2个总体矩、样本矩各为总体矩将是任何未知参数θ的函数例：设X1，X2，…Xn表示某个设施中n个客户的服务时间的随机样本，其中基础分布假设为参数λ为指数分布。求λ的矩估计(momentes