第8章Kalman滤波.pdf

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1、Kalman滤波HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第22页页卡尔曼生平•卡尔曼全名RudolfEmilKalman，美籍匈牙利数学家，1930年出生于匈牙利首都布达佩斯。1953，1954年于麻省理工学院分别获得电机工程学士及硕士学位。HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY1957年于哥伦比亚大学获得博士学位。我们要学习的卡尔曼滤波器，正是源于他的博士论文和1960年发表的论文《ANewApproachtoLinearFilteringandPredictionProblems》（线性滤波与预测问题的新方法）。

2、第第33页页1.引言•卡尔曼(Kalman)滤波和维纳(Wiener)滤波都是以最小均方误差为准则的最佳线性估计或滤波。•维纳滤波只适用于平稳随机过程(信号)HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY•卡尔曼滤波没有这个限制，信号可以是平稳的，也可以是非平稳的。第第44页页2.处理方法——维纳滤波器根据全部过去的和当前的观测数据x(n),x(n-1),…来估计信号的当前值HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY以均方误差最小条件下求解系统的传递函数H(z)或单位冲激响应h(n)第第55页页2.处理方法——卡尔曼滤波器不需要

3、全部过去的观察数据只根据前一个估计值xˆk-1和最近一个观察数据yk来估计信号的当前值HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY它是用状态空间法描述系统，即由状态方程和观测方程组成。解是以估计值(是状态变量的估计值)的形式给出的其算法是递推且状态空间法采用在时域内设计滤波器的方法适用于多维随机过程的估计，适用于计算机处理第第66页页3.信号模型的建立•从信号模型的建立来看：•维纳滤波的信号模型是从信号与噪声的相关函数得到。HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY•卡尔曼滤波的信号模型则是从状态方程和观测方程得到。第第77页

4、页卡尔曼滤波器的特点是什么？HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第二节HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY卡尔曼滤波器的信号模型—离散状态方程与观测方程第第99页页引入•在讨论维纳滤波时，提出一个基本概念：任何具有有理功率谱密度的随机信号都可看作是白色噪声通过一个线性网络所形成。由此得到维纳滤波器的信号模型HANGZHOUDIANZIUNIVERSITYvn()wn()sn()wn()s()nxn()A()zA()zwn()x()nBz()第第1010页页•为了得到卡尔曼过滤的信号模型，必须首先讨论状态方程和观测

5、方程。HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY第第1111一、离散状态方程及其解页页离散状态方程的基本形式是：x(1kA+=)()()xk+BekHANGZHOUDIANZIUNIVERSITY其中x(k)代表一组状态变量组成的多维状态矢量，而A，B都是矩阵，它们是由系统的拓扑结构、元件性质和数值所确定的。e(k)是激励信号。第第1212页页状态方程是多维一阶的差分方程。当已知初始状态x(0)，可用递推的方法得到它的解x(k)HANGZHOUDIANZIUNIVERSITYxA(1)=+xB(0)e(0)2x(2)=+=++Ax

6、(1)Be(1)Ax(0)ABe(0)Be(1)##k−2kk−−12−jxk(1−=)Ax(0)+∑ABej()j=0k−1kk−−1jxk()=+Ax(0)∑ABej()j=0第第1313页页其中第一项：kAx(0)：只与系统本身的特性和初始状态Ax(0)有关，与激励信号e()i无关，称为零输入响应；第二项：HANGZHOUDIANZIUNIVERSITYk−1kj−−1∑ABe()j：只与激励和系统本身特性有关，j=0而与初始状态无关，称为零状态响应。第第1414页页k令Ak=Φ()代入，得：k−1xk()=Φ()(0)kx+∑Φ

7、−−(1)()kjBejj=0HANGZHOUDIANZIUNIVERSITYk当时ek()==0(，xk)(Φkx)(0)(=Ax0)由此可见，通过Φ=(kk)可将0时的状态过渡到任何kk>Φ0的状态。故称()为过渡矩阵或转移矩阵。第第1515页页当已知初始状态xe(0)、激励(j)以及与矩阵，AB即可求得xk()。。如果用表示起始点的值从kkx()k开始递推，从而有0HANGZHOUDIANZIUNIVERSITYk−1xk()=Φkk,0xk()0+∑Φkj,1+Bej()jk=0kx=0(：表示从初始状态0)开始递推。0Φ：代表

8、从状态到状态的转移矩阵。kkkk,00第第1616页页如果kk=−1，就得到一步递推公式：0xk()=Φxk(1−+Φ)(0)(1Bek−)kk,1−HANGZHOUDIANZIUNIVERSITY0由于Φ