6-分子动力学.pdf

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1、第五章分子动力学第一节Verlet算法牛顿方程vv2drfii2=dtmivvvv记R=(r1,r2,LrN)vvv⎛fff⎞⎜12NG=⎜,,L⎟⎟mmm⎝12N⎠vdR2v方程写为=Gdt三点公式vvvv24RRnn+−11=−++2nnRGτΟ(τ)vvrRRnn+−11−2vn=+Ο()τ2τvv如果给出初始条件R0和R1，可求解方程，但常常给出的初vv始条件是R0,v0，2vvvτ那么R1=R0+τv0+G02rtdvvrr(为什么？因为=G，所以，vt()=+v00∫dtGt'(')vtG+0，dt0rrτrrr2R=+Rdtvt'

2、(+'GRvG)++ττ)所以，10∫000000方法的优点：•保持时间反演不变性，即令n−>−n,方程形式不变（尽管误差会破坏这一对称性）v•如果问题与v无关，计算精度相当高方法的缺点：vvvn必须用到Rn+1（为什么是缺点？）另一方案vvvτ22RRvGn+1=++nnτn+Ο()τ2!vvτ2vvGGnn++11=+nn()++Ο()τ2缺点：失去时间反演不变性第二节多体问题的基本方法（阅读材料）全同粒子，概率分布为vvvvW(R)=W(r,rLrN)12物理量平均值1vvvvvA==∫ARWRdR()()dR∏driZivvZWR=∫(

3、)dR分子动力学1τA=lim∫A()tdtτ→∞τ0vvn个粒子处于(r1,Lrn)的分布密度函数vvv1N!vvvρ()r,rLr=∫W()Rrd+Lrdn12n()n1NZN−n!N!来自N个粒子中取个的组合数n(N−n)!例如：n=N是1n=1是Nvv通常记ρ()r=ρ1()r，称系统的粒子密度Nvvv定义ρδˆ()rr=−∑(ri)i=1vv则ρρ()rr=ˆ()证明：这是显然的Nvv1vvvvρδˆ()rr=−∫∑()riNW(r1,Lr)∏driZi=1NNvvvv=∫Wrr()12,,LrNi∏drZi=2vvvv这里假设了W(r

4、1,LrN)是关于交换ri和rj对称的还可证明vvvvvvvρρ2(rr,′′′)=−ˆˆ(r)ρ(r)δ(rr−)ρ(r)vv1NNvvvvvv证明：ρρˆˆ()()rr′′=−−∫∑∑δ()rrijδ()rrW()RdRZij==11Nvv1N!vvvvv如r≠r′=∫W()r,r′,r3LrN∏rdiZ()N−2!i=3vvvv如rr=′,ρρˆˆ(rr)(′)多出一项，Nvvvv来自∑δ()r−riδ(r−ri)的贡献。i=1vv我们定义粒子对分布函数g(r,r′)如下vvvvvvvvvρρ2(rrr+=++′′,,)(rrgrrrr′)

5、(′′)ρ(′)vvv当系统的密度比较均匀时，grrr(+′,′)退化为Nvv1vgr()=<∑δ()rr−ij>ρNij≠粒子对分布函数包含体系丰富的关于平移对称性的性质ò对固体，粒子对分布函数在晶体格距呈现尖锐峰值ò对液体，分布函数只呈现平坦峰值，而且随距离迅速消失类似地，还可以定义关于对称性的物理量。第三节分子动力学的简单应用1．二维固液相变的磁偶极子模型HamiltonianH=K+V1K是动能项，势能项Vrrrr3()−ij在实际模拟中，为了节省计算时间，可以切断相互作用的力程。但无论如何，带有相互作用的系统的模拟比硬碟模型困难多了。

6、我们特别关注对称性空间关联函数rgr6,()=时间关联函数gt()=6,ijij,数值模拟结果与实验结果较好吻合42．二维Φ理论的Hamiltonian动力学假设是孤立系统，Hamiltonian为∑∑⎛⎜121()212214⎞⎟H=π+Φ−Φ−mΦ+λΦ⎜2i2i+μi2i!4i⎟i⎝μ⎠dΦ其中π=，Hamiltonian方程为dt2dΦi2312=Φ+∑()ii+−μμΦ−2Φ+Φimi−Φλidtμ3!应当指出，这里我们已经把Φ定义在格点上。在连续极限

7、下，这便是Ginsburg-Landau理论。应用ò场论ò宇宙学ò统计物理学ò凝聚态物理学..….Verlet算法2dΦi22→Φ++Φ−−Φ()iii()()(tttτττ2)dt在相变点附近，由于动力学慢化，求解方程到平衡态比较困难。点阵太小，存在有限点阵效应。点阵太大，关联时间长，难以达到平衡态，误差难以控制。如果我们已经非平衡态动力学，这一困难不存在。假设初始状态是高温态，即随机态。我们测量宏观物理量，如磁化等，随时间的演化，可以确定相变点以及相关的临界指数。物理量的测量，例如，磁化强度和它的二次矩k()k1⎛⎞M=2<Φ⎜⎟∑i>，k=

8、1,2L⎝⎠i自关联函数1A()tt=2<ΦΦ∑ii(0)()>Li磁化的标度行为M()tmtMttm,,ττ=−βνzz(1,1ν,x