兰州交通大学数值计算法考试试卷(二).pdf

《兰州交通大学数值计算法考试试卷(二).pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、兰州交通大学数值计算法研究生考试试卷（二）一、（5分）利用有效数位的定义，分析m1，某个精确值的近似值为x0.aaa10（其中m为正整数，a0）其有效数位12n1与绝对误差及相对误差限的关系（2分）；142，进一步分析：若以知近似值为1.41423的相对误差小于10，这个近似值至少有几2位有效数位（3分）；解答：（1）设x是精确值x的一个近似值，则称x-x为近似值x的绝对误差。绝对误差e与精确值x之比为近似值x的相对误差，记作e或e(x)；若是x对x的绝对误差限，rrmn则为x对x的一个相对误差限；如果xx0

2、.510，则称x作为x的近似rx值具有n位有效数字。1（2）1.41423=0.141423^…10，所以a11由定理：11n10则x至少有n位有效数字；r2(a1)111n14即10102(a1)2111n14101042即n51a二、（10分）：证明题：设a>0，证明有迭代格式x(x)，产生的迭代序列{x}，n1nn2xn对于任意的x0，均收敛于a。0三、（10分）：对下列矩阵A分别作Doolittle分解和Crout分解；即对矩阵A进行LU分解。24423312624124

3、211解答：244233126A=241242113ualu34322222112211l(alu)(414)032323112u322ualulu11405333331133223u1ja1j(j1,2,n)ali1（i2,3n）i1u11i1由公式知：uijaijliku（kjji,i2,3n）k1ji1lij(aijlikukj（)ij,j2,3n1）ujjk1100024421.51000

4、363L=U=10100050223.810009四、（15分）：证明题：设f(x)在区间[a,b]上有定义，f(x)在(a,b)内有4阶导数，H(x)是满足插值条件H(xj)=yj，H’(xj)=mj（j=0,1）的三次Hermite插值函数，则对任意的x[a,b]，H(x)的插值余项为：(4)f()2R(x)=f(x)H(x)=(xx)(xx)014!证明：由：R(x)f(x)H(x)33R(x)f(x)H(x)0(i=0,1)3ii3i，，,R(x)f(x)H(x)03ii3i可知

5、x,x均为R(x)的二重零点，因此可设：013R(x)=K(x)(x-x)²(x-x)²，其中K(x)待定。301构造辅助函数：22(t)f(t)H(t)K(x)(tx)(tx)30122(x)f(x)H(x)K(x)(xx)(xx)0ii3ii0i122(x)f(x)H(x)K(x)(xx)(xx)301因此(t)至少有5个零点。连续4次使用Rolle定理可得，至少有一点x,x使得01(4)()0（4）(4)即，f()4!K(x)0（4）f()所以，K(x)4！所以两点三次Hermit

6、e插值余项为：(4)f()2R(x)=f(x)H(x)=(xx)(xx)xx01014!五、（10分）：证明题：设x是方程组Ax=b的精确解，若B1,对于迭代格式(k1)(k)xBxf,(k0,1,2)有B(k)(1)(0)xxxx1B证明：(k1)(k)由于xBxf(k)(k1)xBxfxBxf(k1)(k)(k)(k1)xxB(xx)(k1)(k)xxB(xx)(k1)(k)(k)(k-1)于是有xxBxx(k1)()(k)()xxBxx(k1

7、)(k)(k1)()(k)()(k)(k1)()xx（xx）(xx)xxxx(k)()(1B)xx(k)()1(k1)(k)xxxx1BB(k)(k1)xx1BkB(1)(0)xx1B证毕；六、（10分）：设有求积公式：1f(x)dxAf(1)Af(0)Af(1)1012试确定系数A,AA,使上述求积公式的代数精度尽量高，并指出求积公式所具有的代数精01,2度。解答：由于有三个待定系数，按代数精度取f(x)=1,x,x²使所求的求积公式f(x)余项为0，1(1)f(x)1

8、,1dxAAA,AAA201201211可以建立三个方程：(2