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1、第二十六章经济与金融中的优化问题本章主要介绍用LINGO软件求解经济、金融和市场营销方面的几个优化问题的案例。§1经济均衡问题及其应用在市场经济活动中，当市场上某种产品的价格越高时，生产商越是愿意扩大生产能力（供应能力），提供更多的产品满足市场需求；但市场价格太高时，消费者的消费欲望（需求能力）会下降。反之，当市场上某种商品的价格越低时，消费者的消费欲望（需求能力）会上升，但生产商的供应能力会下降。如果生产商的供应能力和消费者的需求能力长期不匹配，就会导致经济不稳定。在完全市场竞争的环境中，我们总是认
2、为经济活动应当达到均衡（equilibrium），即生产和消费（供应能力和需求能力）达到平衡，不再发生变化，这时该商品的价格就是市场的清算价格。下面考虑两个简单的单一市场及双边市场的具体实例，并介绍经济均衡思想在拍卖与投标问题、交通流分配问题中的应用案例。1.1单一生产商、单一消费者的情形例1假设市场上只有一个生产商（记为甲）和一个消费者（记为乙）。对某种商品，他们在不同价格下的供应能力和需求能力如表1所示。举例来说，表中数据的含义是：当单价低于2万元但大于或等于1万元时，甲愿意生产2t产品，乙愿意购
3、买8t产品；当单价等于或低于9万元但大于4.5万元时，乙愿意购买2t产品，甲愿意生产8t产品；依次类推。那么的市场价格应该是多少？表1不同价格下的供应能力和需求能力生产商（甲）消费者（乙）单价（万元/t）供应能力（t）单价（万元/t）需求能力（t）1292244.543636482.258（1）问题分析仔细观察一下表1就可以看出来，这个具体问题的解是一目了然的：清算价格显然应该是3万元/t，因为此时供需平衡（都是6t）。为了能够处理一般情况，下面通过建立优化模型来解决这个问题。这个问题给人的第一印象似
4、乎没有明确的目标函数，不太像是一个优化问题。不过，我们可以换一个角度来想问题：假设市场上还有一个虚拟的经销商，他是甲乙进行交易的中介。那么，为了使自己获得的利润最大，他将总是以可能的最低价格从甲购买产品，再以可能的最高价格卖给乙，直到进一步的交易无利可图为止。例如，最开始的-348-2t产品他将会以1万元的单价从甲购买，以9万元的单价卖给乙；接下来的2t产品他会以2万元的单价从甲购买，再以4.5万元的单价卖给乙；再接下来的2t产品他只能以3万元的单价从甲购买，再以3万元的单价卖给乙（其实这次交易他已经
5、只是保本，但我们仍然假设这笔交易会发生，例如他为了使自己的营业额尽量大）；最后，如果他继续购买甲的产品卖给乙，他一定会亏本，所以他肯定不会交易。因此，市场清算价格就是3万元。根据这个想法，我们就可以建立这个问题的线性规划模型。（2）模型建立决策变量：设甲以1万元，2万元，3万元，4万元的单价售出的产品数量（单位：t）分别是x,x,x,x，乙以9万元，4.5万元，3万元，2.25万元的单价购买的产品1234数量（单位：t）分别是y,y,y,y。1234目标函数：就是虚拟经销商的总利润，即9y+4.5y+
6、3y+2.5y−x−2x−3x−4x（1）12341234约束条件：44供需平衡∑xi=∑yi（2）i=1i=1供应限制x≤2，i=1,2,3,4（3）i消费限制y≤2，i=1,2,3,4（4）i非负限制x,y≥0，i=1,2,3,4（5）ii（3）模型求解式（1）～（5）是一个线性规划模型，可以用LINGO求解，对应的LINGO程序如下：model:sets:gx/1..4/:c1,c2,x,y;endsetsdata:c1=1234;c2=9,4.5,3,2.5;enddatamax=@sum(g
7、x:c2*y-c1*x);@sum(gx:x)=@sum(gx:y);@for(gx:@bnd(0,x,2);@bnd(0,y,2));-349-end求解这个模型，得到如下解答：Globaloptimalsolutionfoundatiteration:5Objectivevalue:21.00000VariableValueReducedCostC1(1)1.0000000.000000C1(2)2.0000000.000000C1(3)3.0000000.000000C1(4)4.0000000
8、.000000C2(1)9.0000000.000000C2(2)4.5000000.000000C2(3)3.0000000.000000C2(4)2.5000000.000000X(1)2.000000-2.000000X(2)2.000000-1.000000X(3)0.0000000.000000X(4)0.0000001.000000Y(1)2.000000-6.000000Y(2)2.000000-1.500000Y(3)0.0000000.
