《线性代数》(陈维新)习题答案(第6章).pdf

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1、第六章二次型习题6.12．用配方法化下列二次型为标准形，并写出非退化的线性替换：222(1)f(,,)xxxxx=++++2xxx24xx5;123112223322(2)fxxx(,,)=x+−+2xx2xx2x;12311213222(3)f(,,)2xxxxx=−4xxx+−4x；123112223(4)fxxx(,,)=++xxxxxx．123122313222222解(1)f(,,)xxxxx=+++2xxx24xxxxxxx+=++++5()(2),123112223312233yxx=+,xyyy

2、=−+2,112−1121123令yxx=+2,则xyy=−2,因为01210−=≠,所以线性替换是非223223yx=.xy=.0013333222退化的.从而得到标准形yyy++.1232211222(2)fxxx(,,)=+−+=++−−x2xx2xx2x2(xx)(x2)x2x,12311213212133221yxx=+,1212xyyy=−+2,112−1123令yxx=−2,则xyy=−,因为01110−=≠,所以线性替换是非退213223yx=.xy=.0013333

3、2221化的.从而得到标准形22yyy+−.123222222(3)f(,xx,xxx)=−24xxx+−4xxxxxx=−−+2()(2)+4,12311222312233yxx=−,xyyy=−−2,112−1121123令yxx=+2,则xyy=−2,因为01210−=≠,所以线性替换是非223223yx=.xy=.0013333222退化的.从而得到标准形24yyy−+.123(4)fxxx(,,)=++xxxxxx123122313xyy=−,112先令xyy=+,212xy=.

4、3322222则fxxx(,,)=++xxxxxx=y−+y2yy=()yyyy+−−12312231312131323zyy=+,xzzz=+−,111−1131123令zy=,则xzzz=−−,因为11120−−=−≠,所以线性替换是非222123zy=.xz=.0013333222退化的.从而得到标准形zzz−−.1233．用配方法化二次型为标准形时，应如何配方才能保证使用的是非退化的线性替换?下述两小题中所用的配方合适吗?正确的配方应如何做?22222(1)fxxx(,,)=−+=+−+4x

5、4xx6x2x2(xx)4x12311221122222=224yyy++,123其中线性替换为yx=,11yxx=−,212yx=.32(2)222222fxxx(,,)22=+++−xxx2xx22xxx+=−+−++2(xxx)(xx)(xx)123112132233122331222=++yyy123其中线性替换为yxx=+,112yxx=−,223yxx=+.331110yx=,11解(1)错,因为0110−=,所以线性替换yxx=−,是退化的,所以错.212000yx=.3

6、2222222正确的为fxxx(,,)=−+=−+4x4xx6x(2xx)5x=yy+5,12311221221211xyy=−,10−yxx=2,−11222112其中线性替换为yx=,则xy=,因为01010=≠,所以该2222yx=.xy=.0013333线性替换是非退化的.101yxx=+,112(2)错,因为1100=,所以线性替换yxx=−,是退化的,所以错.223011−yxx=+.331222正确的为fxxx(,,)2=+++−+x2xx2xx2x2xx2x1231121

7、3223311322223=2(xxx+++−=+)(xx)2yy12323122222111yxxx=++,xyyy=−−,11222311223其中线性替换为yxx=−,则xyy=+,因为223223yx=.xy=.3333111−−201110=≠,所以该线性替换是非退化的.001习题6.22．写出下列二次型的矩阵表示和二次型的矩阵：222(1)fxxx(,,)=+−++−xxx2xx2x3xx3x；12311213223322(2)fxxx(,,)=x++−2xx4xx5x;12

8、31121322(3)fxxx(,,)(=++axaxax);123112233n−1(4)fxx(,,,)12xn=+++xx12xx23xxn−−1n=∑xxii1.i=1111−2x113解(1)fxxx(,,)=[xxx]2x,123123222x33−−