《线性代数》(陈维新)第1-2章部分习题答案.pdf

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1、《线性代数》(陈维新)习题答案第1章行列式习题1.1P5*9如果排列?1?2⋯??的逆序数为?，问排列????−1⋯?1的逆序数是多少？为什么？解因?1?2⋯??中任意两个数??，??必在排列?1?2⋯??或????−1⋯?1中构成逆序，且只能在其中2?(?−1)一个构成逆序，所以这两个排列的逆序之和为??=。现?(?1?2⋯??)=?，故2?(?−1)?(????−1⋯?1)=−?。2*10证明：?!个不同的?阶排列中奇偶排列各占一半。解设奇排列为?个，偶排列为?个，则?+?=?!。对?个奇排列作一次固定

2、的对换，比如说第1和第2两个数对换，得到?个偶排列(注意，对换后得到的?个偶排列是互不相同的)。现1偶排列总数为?个，故?≤?。同理可证?≤?。从而?=?，即?=?=?!。2习题1.2P5*9证明d?11(?)?12(?)⋯?1?(?)?11(?)⋯?1?(?)⋯?1?(?)d??��d�?21(?)?22(?)⋯?2?(?)�?(?)⋯d?(?)⋯?(?)=�21d?2?2?d?�⋮⋮⋮�?=1�⋮⋮⋮�??1(?)??2(?)⋯???(?)d??1(?)⋯???(?)⋯???(?)d?证左端d=�(−1

3、)?(?1?2⋯??)?1?(?)?2?(?)⋯???(?)d?12??1?2⋯??2dd=�(−1)?(?1?2⋯??)��?1?(?)�?2?(?)⋯???(?)+?1?(?)�?2?(?)�⋯???(?)d?12?1d?2??1?2⋯??d+⋯+?1?1(?)?2?2(?)⋯d?�????(?)��=右端习题1.3P202用行列式性质计算下列行列式：?−?−?2?2?(4)�2??−?−?2?�2?2??−?−?解?−?−?2?2?�2??−?−?2?�2?2??−?−??+?+??+?+??+?+?

4、?1+?2+?3����������������������2??−?−?2?�2?2??−?−?111提取公因子(?+?+?)�2??−?−?2?����������������������2?2??−?−?111?2−2??1(?+?+?)�0−?−?−?0����?��3��−���2��?��?��1���00−?−?−?=(?+?+?)38计算3−?1?10⋯00�0−?2?2⋯00�00−?3⋯00��⋮⋮⋮⋮⋮�000⋯−????�111⋯11解解题思路：设法将行列式化为上三角或下三角行列式，

5、行列式的最后一行都是1，似乎将最后一行第1∼?列的元素化为1比较容易，实际上这样计算并不能化简行列式。−?1?10⋯000−?2?2⋯00��00−?3⋯00�⋮⋮⋮⋮⋮�000⋯−????111⋯11−2?1?10⋯00?1−?2?2−?2?2⋯00��00−?3⋯00����������������⋮⋮⋮⋮⋮�000⋯−????011⋯11还有一种思路，将行列式化为下三角行列式−?1?10⋯000−?2?2⋯00��00−?3⋯00�⋮⋮⋮⋮⋮�000⋯−????111⋯11−?100⋯00?2+?10

6、−?20⋯00′��?3+?200−?3⋯00�������⋮���������⋮⋮⋮⋮⋮�?+?′000⋯−??0?+1?123⋯??+1=(−1)?(?+1)?1?2⋯??注：这里?′表示新的第?列。?解法二把第2，3，⋯，?列加到第1列上得4−?1?10⋯000?10⋯000−?2?2⋯000−?2?2⋯00����00−?3⋯0000−?3⋯00=�⋮⋮⋮⋮⋮��⋮⋮⋮⋮⋮�000⋯−????000⋯−????111⋯11?+111⋯11?+1?10⋯00−?2?2⋯00=(−1)1+?+1(?+1

7、)�0−?3⋯00���⋮⋮⋮⋮00⋯−?????=(−1)?(?+1)?1?2⋯??3.计算下列行列式123⋯?−1??12⋯?−2?−1��?−1?1⋯?−3?−2(2)??=�⋮⋮⋮⋮⋮�345⋯12234⋯?1解123⋯?−1?112⋯?−2?−1?1+?2+⋯+???(?+1)�1?1⋯?−3?−2�??�����������������������2�⋮⋮⋮⋮⋮�145⋯12134⋯?1?123⋯?−1???−??−10−1−1⋯−1−1??−1−??−2?(?+1)�0?−1−1⋯−1−1��

8、��������⋮��������2�⋮⋮⋮⋮⋮�?2−?10−1−1⋯−1−10−1−1⋯?−1−1?−1−1⋯−1−1按第1列?−1−1⋯−1−1?(?+1)��������������⋮⋮⋮⋮��展开2�−1−1⋯−1−1−1−1⋯?−1−1?−1?2−?1−1−1⋯−1−1?3−?1?(?+1)?0⋯00�⋮⋮⋮⋮���������⋮������2�00⋯00??−?100⋯?0?−15?0⋯0按第?−1