线性代数陈维新浙江大学课后答案

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1、课后答案网www.khdaw.com第一章行列式习题1.11.证明：（1）首先证明Q()3是数域。因为Q⊆Q()3，所以Q()3中至少含有两个复数。任给两个复数a+b,3a+b3∈Q()3，我们有1122(a+b)3+(a+b)3=(a+a)+(b+b)311221212(a+b)3−(a+b)3=(a−a)+(b−b)3。11221212(a+b3)(a+b)3=(aa+3bb)+(ba+ab)3112212121212因为Q是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以(a+b)3+(a+b)3=(a+a)+(b+b)3∈Q()311221212

2、(a+b)3−(a+b)3=(a−a)+(b−b)3∈Q()3。11221212(a+b3)(a+b)3=(aa+3bb)+(ba+ab)3∈Q()3112212121212如果a+b3≠0，则必有a,b不同时为零，从而a−b3≠0。222222又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以a+b3(a+b3)(a−b)3(aa−3bb)(ba−ab)11112212121212==+3∈Q()32222a2+b23(a2+b23)(a2−b2)3a2−3b2a2−3b2。综上所述，我们有Q()3是数域。（2）类似可证明Q(p)是数域，这儿p是一个素数。

3、（3）下面证明：若p,q为互异素数，则Q(p)⊄Q(q)。（反证法）如果Q(p)⊆Q(q)，则∃a,b∈Q⇒p=a+bq，从而有222p=(p)=(a+qb)+2abq。由于上式左端是有理数，而q是无理数，所以必有2abq=0。所以有a=0或b=0。2如果a=0，则p=qb，这与p,q是互异素数矛盾。课后答案网www.khdaw.com如果b=0，则有p=a，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。所以假设不成立，从而有Q(p)⊄Q(q)。同样可得Q(q)⊄Q(p)。（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在Q和ℜ之间存在无穷多个不同的数域。2.

4、解：（1）P(−)1是数域，证明略（与上面类似）。（2）Q(−)1就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。而ℜ(−)1=C(−)1=复数域。1（3）Z(−)1不是数域，这是因为他关于除法不封闭。例如∉Z(−)1。23.证明：（1）因为F,K都是数域，所以Q⊆F,Q⊆K，从而Q⊆F∩K。故F∩K含有两个以上的复数。任给三个数a,b∈F∩K0,≠c∈F∩K，则有a,b,c∈F且a,b,c∈K。因为F,K是aaa数域，所以有a±b,ab,∈F且a±b,ab,∈K。所以a±b,ab,∈F∩K。ccc所以F∩K是数域。（2）F∪K一般不是数域。例如F=

5、Q(2),K=Q()3，我们有,23∈F∪K，但是6=23∉F∪K。习题1.2τ(234516)+τ(312645)2.解：项aaaaaa的符号为(−)1=L233142561465习题1.311L111L1aij=11．证明：根据行列式的定义=∑(1)−τ()jj12LjnaaLaMMM12jj12njnjj12Ljn11L1课后答案网www.khdaw.com∑(1)−τ(jj12Ljn)=0。jj12Ljn所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的n阶

6、排列，故可以得到全体n阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。199819992000199819991199811CC−CC−32212．解(1)200120022003200120021200111=0；2004200520062004200512004111001−10000220CC32−0200下三角形（2）1268=96×××；0330−CC+0360−414004400811101110111011101101RR21−0011−R240111RR32+0111（3）1011RR−0101−0101−0012310111011

7、10011−0011−1110RR43+0111上三角形1113=3×××；00120003abc−−22aaabcabcabc++++++RR++R123（4）22bb−−cab22bb−−cab22ccc−−ab22ccc−−ab111提取公因子()abcbbca++2−−2b22ccc−a−b111Rb−(2)R213()abc++0−−−bca0=()abc++。Rc−(2)R3100−cab−−7222215222215222252722215722205000CC1+∑iRRi−1（5）22722i=215272200500i=2,3,4,

8、522272152272000502222715222700005课后答案网www.khdaw