中立型Emden-Fowler泛函微分方程的振动准则.pdf

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1、第26卷第1期广东石油化工学院学报V01．26No．12016年2月JournalofGuangdongUniversityofPetrochemicalTechnologyFebruary2016中立型Emden—Fowler泛函微分方程的振动准则吴英柱(广东石油化工学院数学系，广东茂名525000)摘要：建立了中立型Emden—F0wler泛函微分方程[r(￡)l(t)。(t)]g(t)l((f))(艿())=0，t≥t0的若干新的振动准则，其中，口>0，p>0，(t)=(t)p()(r(￡))。文章得

2、出的结论改进和推广了最近文献的一些熟知的结果。关键词：Emden—Fowler方程；Riccafi变换；中立型；振动准则中图分类号：0175．1文献标识码：A文章编号：2095—2562(2ol6)01—0056—04中立型Emden—Fowler泛函微分方程在研究原子核内部的电动势时被导出，在核物理中具有非常重要的作用，在高速计算机无损线路的网络设计中也有广泛的应用。近年来，微分方程的振动性成为数学工作者研究的热门课题_jI9]。然而，研究Emden—Fowler型泛函微分方程振动性的文献较少，因此，本文

3、考虑中立型Emden—Fowler泛函微分方程：[r(t)I(t)l一(t)]+g(t)I((t))I8-t((t))=0，t≥t。(1)式中：z(t)=(t)+P(t)(r(t))。如没有特别说明，本文总假设函数P(t)，g(t)，r(t)EC([t。，∞)，，r(t)，(t)EC([t。，∞)，，a>0，j8>0，且下列条件成立：(A1)r(t)>o，r)≥0，o≤p()≤1，g(￡)≥o，J[∞(A2)r(t)≤t，(t)≤t，(t)>0，limr(t)：lima(t)=∞方程(1)的一个解的是函数(

4、t)∈C([，a。)，R)，≥t。，且有性质r()Iz(t)(t)∈c([，∞)，R)使得在[，。。)上满足方程(1)。我们称方程(1)的一个解是振动的，如果它在[t。，∞)上有任意大的零点，否则称为非振动的。如果方程(1)的一切解均为振动，则其称为振动。方程(1)有许多重要的特例，例如：(r(t)(t))+g(t)(t)=0(2)[(t)+P(t)(t—r)]+q(t)(t一)=0(3)(r(t)I(t)I一(t))+q(t)I(d(t))I。一((t))=0(4)(r(t)(t))+g(t)I((t))

5、l一((t))：0(5)(r(t)lz()I一z(t))+g(t)l((t))l8-1((t))=0(6)式中：z(t)=(t)+P(t)(r(t))。对于方程(2)，我们有著名的Leighton振动准则。定理A设j=∞，jg(￡)d=。。，则方程(2)振动b。对中立型方程(3)，Grammatikopoulos等证明了：收稿日期：2015—12—29；修回日期：2016一O1—12基金项目：广东茂名市科技计划资助项目(2014050)；广东石油化工学院自然科学研究基金资助项目(513021)作者简介：吴英

6、柱(1978一)，男，广东化州人，硕士，讲师，主要从事微分方程与动力系统研究。第1期吴英柱：中立型Emden—Fowler泛函微分方程的振动准则57定理B设o≤p(t)≤1，g(￡)≥o，且l9(￡)[1一P(—a)]dt=∞，则方程(3)振动。Sun和Meng给出了半线性方程(4)的一个振动准则：艘C设R()√I，／，若()=～jJ[((￡))g()一[cftJ]”———L—一]df：∞，则方程(4)振动。R((t))r言((t))最近，Li和Han等⋯证明了当I<∞时，中立型时滞Emden—Fowler

7、方程(5)的若干振动定理；Ⅱu和Meng等得到了当a≥>0时，广义中立型Emden—Fowler方程(6)的一些振动结果。本文目的是利用改进的Riccati变换技巧，在以下情况：liraR(t)=O0对任意口>0，口>0，给出方程(1)的振动准则。所得结论改进和推广了最近文E53和文[4]以及所引文献中的一系列相关的结果。以下当我们写函数不等式时，如没有特别说明，我们将假设它对一切充分大的t成立。1振动准则定理1．1设(t)是方程(1)的最终正解，则存在≥to，使得(t)>0，t≥T。证明设(t)是方程(1

8、)的最终正解，则存在t。≥t。，使得当t≥t。时，有(t)>0，(r(t))>0以及((t))>0。由方程(1)我们得到：(r(t)Iz(t)I。一z(t))=一q(t)Ix(a(t))l一((t))≤0因此，当t>t。时，r(t)Iz(t)I(t)是非增函数。故z(t)只能有两种情形，即最终为正或者最终为负，如果z()最终为负，即z(t)<0，t≥t2≥t1，我们有：一r(t)(一(t)o≤一r(t2)(一z(