统计概率与数列结合经典考题(1).pdf

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1、节选自《统计概率的系统性解读》（淘宝博约书斋店铺为唯一正版销售书店），统计概率和函数、导数等各种知识结合成为压轴题值得关注。1.1统计概率与数列结合1.（2019全国I理21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠

2、未治愈则甲药得1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．（1）求X的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i0,1,,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p00，p81，papbpcp(i1,2,,7)，其中aP(X1)，bP(X0)，ii1ii1cP(X1)．假设0.5，0.8．(i)证明：{pi1pi}(i0,1

3、,2,,7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．解：X的所有可能取值为1,0,1.P(X1)(1)，P(X0)(1)(1)，P(X1)(1)，所以X的分布列为（2）（i）由（1）得a0.4,b0.5,c0.1.因此p=0.4p+0.5p+0.1p，故0.1pp0.4pp，ii1ii1i1iii1即pp4pp.i1iii1因为ppp0，所以pp(i0,1,2,,7)为公比为4，首项为p的等比数列．101i1i1节选自《统计概率的

4、系统性解读》（淘宝博约书斋店铺为唯一正版销售书店），统计概率和函数、导数等各种知识结合成为压轴题值得关注。（ii）由（i）可得pppppppp88776100841p8p7p7p6p1p0p1.33由于p=1，故p，所以818414411p4p4p3p3p2p2p1p1p0p1.3257p表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈41率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p0.0039，此时得出错误结论的概率非常4257小，说明这

5、种试验方案合理.【点评】看似很复杂，实则简单。在实际问题情境中，数列知识与概率相结合。这在清北的自主招生或竞赛题中都有所见，此题可以视为2011清华大学七校联考自主招生考试中的15题的改编。变式1：（2011清华大学七校联考自主招生第15题）将一枚质量均匀的硬币连续抛掷n次，以p表示未出现连续3次正面的概率。n（1）求p,p,p,p；1234（2）探究数列p的递推公式，并给出证明；n（3）讨论数列p的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义。n变式2：（2012全国高中数学联赛第8题）某情报站有A,B,C,D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且

6、每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示）2.节选自《统计概率的系统性解读》（淘宝博约书斋店铺为唯一正版销售书店），统计概率和函数、导数等各种知识结合成为压轴题值得关注。3.节选自《统计概率的系统性解读》（淘宝博约书斋店铺为唯一正版销售书店），统计概率和函数、导数等各种知识结合成为压轴题值得关注。4.