无穷级数求和的方法与技巧.pdf

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1、理工2010.05（下旬刊）无穷级数求和的方法与技巧和珍珍[1]王超[2]（[1]保定学院管理系河北·保定071000；[2]保定市教师进修学校河北·保定071000）中图分类号：O173.1文献标识码：A文章编号：1672-7894（2010）15-098-02摘要本文介绍了收敛无穷级数的一些求和方法等比数列。与技巧。∞例2.求无穷级数Σn的和，其中x<1。关键词无穷级数微分积分求和nxn=1解：令s=x+2x2+3x3+…+nxn（1）n无穷级数是数学分析的重要内容，而无穷级数求和问xs=x2+2x3+3x4+…+nxn+1（2）n题又是无穷级数这部分的难点。无穷级数求和

2、通常用的是则（1）-（2）得：定义法、逐项微分法与逐项积分法等，这对于解决复杂的无（1-x）s=x+x2+x3+x4+…+xn-nxn+1=x（1-x）n-nxn+1,穷级数求和问题是远远不够的。因此，我们有必要探索解决n1-x无穷级数和的其他方法。x（1-x）nnxn+1x∴s=limsn=lim[-]=,x<1。221定义法n→∞n→∞（1-x）1-x（1-x）此法难点在于无穷级数前n项和的求取，既是求和的注：这是一道用错位相消法很典型的例题，同时本例也∞基础，也是求和的关键。笔者结合自己的学习经验，略举几可作为结论直接应用，即：当x<1时，无穷级数Σn收敛nx例，仅供参

3、考。n=11.1公式法x于。（1-x）2对于一些收敛的无穷级数可直接使用等比数列的求和∞2组合法公式，如求无穷级数Σnr<1的和，即可直接使用公式。ar此法的关键在于找到某两项间的关系式（一般是将和n=1差化为乘积式），使它们重新组合后的新级数类似于原级数1.2拆项法的形式，这就要求读者善于发现级数项间的关系式。主要适用于无穷级数的通项为分式，分式的分母是因∞式之积的形式的级数。例3.求无穷级数的Σqn-1cos（n-1）x的和。∞n=11例1：求无穷级数的Σ和。解：由于coskx+cos（k-2）x=2cosx·cos（k-1）x，k=2,3,…,n=1n（n+1）而s=1

4、+qcosx+q2cos2x+…+qn-1cos（n-1）x+…,111解：由于un==-，故有q2s=q2+q3cox+q4cos2x+…+qn+1cos（n-1）+…，n（n+1）nn+1∴s+q2s=1+qcosx+q（21+cos2x）+q（3cosx+cos3x）+111111所以：sn=1-+-+…+-=1-，2223nn+1n+1=1-qcosx+2qcosx（1+qcosx+qcos2x+…）1=1-qcosx+2qcosx·s。所以s=limsn=lim（1-）=1.n→∞n→∞n+11-qcosx移项，解得：s=。∞∞1-2qcosx+q211我们发现无穷

5、级数Σ（2n-1）（2n+1）=2，Σ3分组求和法n=1n=1∞∞∞∞1=1，Σ3=1，因而得到一个一1）此法的原理为：如果Σun及Σvn收敛，那么Σ（3n-2）（3n+1）3n=1（3n-2）（3n+1）n=1n=1n=1∞∞∞般结论：（un±vn）收敛，且Σ（un±vn）=Σun±Σvn。当把级数分成两∞n=1n=1n=11命题：对于整数k≠0,-1,无穷级数Σ∞n=1[k（n-1）+1][kn+1]个或多个（有限个）收敛级数的和时，注意一定要保证Σun1n=1收敛于。k∞∞与Σvn均收敛。推广：对于实数a≠0,-1，b为任意实数，无穷级数Σn=1n=1∞∞∞bb2）用Σ

6、cn=Σan·Σbn，其中cn=a0bn+a1bn-1+…+anb0，且收敛于。n=0n=0n=0[a（n-1）+1][an+1]a∞∞注：可见当通项为无理因式时，应先将其有理化，再进Σan与Σbn均收敛。行适当变形，是一种有效而常用的处理手段。n=0n=0∞1.3错位相消法111n例4.求无穷级数Σ（1+++…+）x,x<1的和。主要适用于数列{anbn}，其中数列{an}为等差数列，{bn}为n=123n982010.05（下旬刊）理工∞∞∞∞此法要求读者根据级数特征进行求导或积分运算，然xn解：取Σn，,x<1，an=ΣxΣbn=Σn后再在上面进行积分或求导计算即可。n

7、=0n=0n=1n=1111xnxnxn6赋值法则c（1+++…+）xn=xn+++…+n23n23n此法是根据所给级数的特点，构造一个容易求和的幂=an-1b1+an-2b2+…+a1bn-1+a0bn,级数，在此幂级数的收敛域内有一点x0，当x=x0时，所得的∞∞∞∞xn1n（1-x）常数项级数恰好是要求和的级数，设所求级数的和为S，幂∴s=Σn·=，x<1。an·Σbn=ΣxΣn=0n=1n=0n=0nx-1级数的和为S（x），则S=S（x0）。可见，此法关键在于如何找到数列{an}，{bn}。7