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时间:2020-01-12
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1、理工2010.05(下旬刊)无穷级数求和的方法与技巧和珍珍[1]王超[2]([1]保定学院管理系河北·保定071000;[2]保定市教师进修学校河北·保定071000)中图分类号:O173.1文献标识码:A文章编号:1672-7894(2010)15-098-02摘要本文介绍了收敛无穷级数的一些求和方法等比数列。与技巧。∞例2.求无穷级数Σn的和,其中x<1。关键词无穷级数微分积分求和nxn=1解:令s=x+2x2+3x3+…+nxn(1)n无穷级数是数学分析的重要内容,而无穷级数求和问xs=x2+2x3+3x4+…+nxn+1(2)n题又是无穷级数这部分的难点。无穷级数求和
2、通常用的是则(1)-(2)得:定义法、逐项微分法与逐项积分法等,这对于解决复杂的无(1-x)s=x+x2+x3+x4+…+xn-nxn+1=x(1-x)n-nxn+1,穷级数求和问题是远远不够的。因此,我们有必要探索解决n1-x无穷级数和的其他方法。x(1-x)nnxn+1x∴s=limsn=lim[-]=,x<1。221定义法n→∞n→∞(1-x)1-x(1-x)此法难点在于无穷级数前n项和的求取,既是求和的注:这是一道用错位相消法很典型的例题,同时本例也∞基础,也是求和的关键。笔者结合自己的学习经验,略举几可作为结论直接应用,即:当x<1时,无穷级数Σn收敛nx例,仅供参
3、考。n=11.1公式法x于。(1-x)2对于一些收敛的无穷级数可直接使用等比数列的求和∞2组合法公式,如求无穷级数Σnr<1的和,即可直接使用公式。ar此法的关键在于找到某两项间的关系式(一般是将和n=1差化为乘积式),使它们重新组合后的新级数类似于原级数1.2拆项法的形式,这就要求读者善于发现级数项间的关系式。主要适用于无穷级数的通项为分式,分式的分母是因∞式之积的形式的级数。例3.求无穷级数的Σqn-1cos(n-1)x的和。∞n=11例1:求无穷级数的Σ和。解:由于coskx+cos(k-2)x=2cosx·cos(k-1)x,k=2,3,…,n=1n(n+1)而s=1
4、+qcosx+q2cos2x+…+qn-1cos(n-1)x+…,111解:由于un==-,故有q2s=q2+q3cox+q4cos2x+…+qn+1cos(n-1)+…,n(n+1)nn+1∴s+q2s=1+qcosx+q(21+cos2x)+q(3cosx+cos3x)+111111所以:sn=1-+-+…+-=1-,2223nn+1n+1=1-qcosx+2qcosx(1+qcosx+qcos2x+…)1=1-qcosx+2qcosx·s。所以s=limsn=lim(1-)=1.n→∞n→∞n+11-qcosx移项,解得:s=。∞∞1-2qcosx+q211我们发现无穷
5、级数Σ(2n-1)(2n+1)=2,Σ3分组求和法n=1n=1∞∞∞∞1=1,Σ3=1,因而得到一个一1)此法的原理为:如果Σun及Σvn收敛,那么Σ(3n-2)(3n+1)3n=1(3n-2)(3n+1)n=1n=1n=1∞∞∞般结论:(un±vn)收敛,且Σ(un±vn)=Σun±Σvn。当把级数分成两∞n=1n=1n=11命题:对于整数k≠0,-1,无穷级数Σ∞n=1[k(n-1)+1][kn+1]个或多个(有限个)收敛级数的和时,注意一定要保证Σun1n=1收敛于。k∞∞与Σvn均收敛。推广:对于实数a≠0,-1,b为任意实数,无穷级数Σn=1n=1∞∞∞bb2)用Σ
6、cn=Σan·Σbn,其中cn=a0bn+a1bn-1+…+anb0,且收敛于。n=0n=0n=0[a(n-1)+1][an+1]a∞∞注:可见当通项为无理因式时,应先将其有理化,再进Σan与Σbn均收敛。行适当变形,是一种有效而常用的处理手段。n=0n=0∞1.3错位相消法111n例4.求无穷级数Σ(1+++…+)x,x<1的和。主要适用于数列{anbn},其中数列{an}为等差数列,{bn}为n=123n982010.05(下旬刊)理工∞∞∞∞此法要求读者根据级数特征进行求导或积分运算,然xn解:取Σn,,x<1,an=ΣxΣbn=Σn后再在上面进行积分或求导计算即可。n
7、=0n=0n=1n=1111xnxnxn6赋值法则c(1+++…+)xn=xn+++…+n23n23n此法是根据所给级数的特点,构造一个容易求和的幂=an-1b1+an-2b2+…+a1bn-1+a0bn,级数,在此幂级数的收敛域内有一点x0,当x=x0时,所得的∞∞∞∞xn1n(1-x)常数项级数恰好是要求和的级数,设所求级数的和为S,幂∴s=Σn·=,x<1。an·Σbn=ΣxΣn=0n=1n=0n=0nx-1级数的和为S(x),则S=S(x0)。可见,此法关键在于如何找到数列{an},{bn}。7
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