关于无穷级数求和的几种方法.pdf

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1、万方数据天津市财贸管理干部学院学报JOURNALOFTIANJININSTn’U7IEOFFINANCIALANDCOMMERCIALMANAGEMENT·2001年第2期关于无穷级数求和的几种方法吴坚天津市财贸管理干部学院天津300170【摘要】无穷级数的求和部分，是学生学习级数过程中较难掌握的部分。这里介绍了几种无穷级数的求和方法，应用了较多的高等数学知识，在一定程度上开阔了解题思路可供学习中参考。【关键词】级数；求和【中图分类号】G633．66【文献标识码】A【文章编号】1008—9055一(2001)02—0031—02

2、AFewWaystotheSummationofInfiniteSeriesWUJian(TianjinInstituteofCommercialandFinancialManagement，Tianjin，300170)Abstract：Thesummationoftheinfiniteseriesismoredifficultforstudentstomasterintheirstudyoftheseries．Herearesomewaystoitssolutionwithsomeknowledgeofhighermathe

3、matics．Theywill，tosomeextent，helptobroadenstudents7thoughts．Thearticleisonlyforreference．Keywords：series；summation无穷级数是高等数学的重要组成部分，我们在研究级数的敛散性时，当级数收敛的情况下，如何去求出其和，有时是比较麻烦的事。这里介绍几种常用的求无穷级数和的方法和技巧。1．求级数圣(2n-1)qn_1

4、小1的和(利用级数和的定义)1_解：记Sn=上(2j-1)q。1n=lSn=1+3q+5q2+7q3+⋯+(2n

5、-1)q“(A)即qSn=q+3q2+5q3+7q4+⋯+(2n一3)(r_1+(2n一1)q“(B)(A)一(B)得(1一q)Sn=l+2q+2q2+2q3+⋯+2q”1-(2n-1)q“=l+2q(1-q1。1)／(1一曲一(2n-1)q。所以sn=1／(1—曲+2q(1一q”1)／(1-q)2一(2n一1)(f1／(1一(I)Sn=lim【1／(1-q)+2q(1-q“)／(1一q)2-(2n-1)q"／(1-q)]=l／(1一q)+2q／(1-q)2注：lira(2n-1)q"／(1-q)=0所以∑(2n-1)旷，：l／

6、(1-q)+2q／(1一q)：n=12．求级数x／4+x2／(2x42)+x3／(3×43)+⋯xn／(n×4n)+⋯的和(利用已知函数的展开式)解：盯1／(n4n)所以L=Iiman+l／alII=Iimn4n／+(n+1)4r．+1[收稿日期]2001-03-05[作者简介]吴坚(1955一)，男，天津市财贸管理干部学院副教授。=l／4所以R=4∞当x=4时，原级数为调和级数∑：1／n，发散Itl=1当x=一4时，原级数为交错级数∑(一1)n／n，由莱布尼兹n=1辨别法知收敛因为ln(1一x)=一(x+x2／2+x3／3+⋯

7、)：∑∥n：一∑xn／nn=l111n所以级数五xWn4k乞(1／n)x(x／4)"=-一ln(1一x／4)n=111=1X∈(-4，4】3．求级数1+x2／21+x4／41+．．·的和(利用逐项微分法)解：因为Iim1／(2n+1)!／1／(2n)!

8、-Iiml(2n)!／(2n+n—÷∞n—+∞1)!J=0所以R=+∞令G(x)=1+xZ／2+xU4l+⋯所以在收敛域IxI<+。。内逐项微分G’(x)=x+x3／31+xS／51+-··31万方数据天津市财贸管理干部学院学报JOURNALOFTIANJININSTITUTEO

9、FFINANCIALANDCOMMERCIALMANAGEMENT·2001年第2期又G(x)一G，(x)=1一x+x：y21一x3／31+⋯=e_xG(柚+G-(x)=1+x+x2／21+x3／31+⋯=e1将上面两式相加2G(x)=e1+e1由此推出G(x)=(e唷+ex)／2即∑；v劁：e砘x)／2(IxI<+*)n=14．求级数x一4xE+9x3-16x4+．．·+(一1)州nZx“+．．·的和(利用逐项积分)解：设G(x)=x一4。+9x3—16x4+⋯+(一1)”1nZx“+⋯[妫Iiml(an+1)／钆l=Iim(

10、n+1)VnZ=-1所以R=I其收敛域内逐项积分有(IxI<1)，XJ。G(x)dx_(1／2)x2-(4／3)x3+(9／4)x4-(16／5)f十一=(1／2)x2-[1+1／31x3+[2+(1／4)]x4_[3+(1／5)】x5+⋯=x+卜x+(1／2)