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《2006级第一学期期末试卷A答案解析.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、北京理工大学2006-2007学年第一学期2007.12006级《微积分A》期末试卷(A卷)参考答案2xxx−1−x22x−12x−1一、1.y′=−arctanx−1−x22x−11+x−12−x2=−arctanx−13(x2−)12−dcosx2.原式=∫2+∫xlnxdx1+cosx212x1=−arctan(cosx)+xlnx−∫dx22x1212=−arctan(cosx)+xlnx−x+C241lntanx⋅lntanxlim3.原式=lime1+lnx=ex→+01+lnxx→+02secxlntanxtanxx2其中lim=lim=limsecx
2、=1x→+01+lnxx→+01x→+0tanxx原式=eaπ4.令x=asint,dx=acostdt;x=,0t=;0x=,t=26ππacostdt12I=∫6=∫6sectdt0a3cos3ta20π13=tant
3、6=202a3a25.对应齐次方程的特征方程为：r−2r=0特征根：r1=,0r2=2；2x齐次方程的通解：Y(x)=C1+C2e1/51*设非齐次方程的特解为：y=x(ax+b)3*23代入方程得：a=−,1b=−；y=−x−x222x23原方程的通解为：y(x)=C+Ce−x−x1222xx2二、1.由泰勒公式得，当x→0时，e=1+x++o
4、(x)!2x2122e−ax−bx−c=1(−c)+1(−b)x+(−a)x+o(x)21由题意，得1−c=1,0−b=,0−a=021x22故当a=,b=,1c=1时，e−ax−bx−c是x的高阶无穷小。2（此题也可用高阶无穷小的定义及罗必达法则）(4x−)12.f′(x)=,令f′(x)=,0得驻点x=1，又x=0时f′(x)不存在，323x列表：0)1,0(1x()−∞0,,1(+∞)f′(x)不存在0+不取极取极小f(x)↓↓↑值值f(x)的单增区间：,1(+∞);单减区间：(−∞0,)1,0(),；极小值：f)1(=−.3t2t3.令u+t=v,du=dv
5、；x=∫cos(u+t)du=∫cosvdv0t∴xt′=2cos(2t)−cost2ysint−cost−1=0两边求导，得2/5222yyt′sint+ycost+sint=02ycost+sint⇒yt′=−2ysint2dyyt′ycost+sint∴==−.dxx′2ysint2[cos(2t)−cost]t22πsinx2π214.证明：∫2dx=∫−sinxdπxπx2sinx2π2π2sinxcosx=−
6、+dxπ∫xπx2πsin2x4πsinu=∫dx令u=2x∫duπx2πu4πsinx=∫dx2πxx22三、由题意知：y−1=∫1+y′dx0
7、yy′2两边对x求导，得=1+y′2y−12整理，得y′=y−12x分离变量并积分，得y+y−1=Ce2x由初条件y)0(=1，得1C=，得y+y−1=e2−x1x−xy−y−1=e，⇒y=(e+e)=coshx.2四、设切点为(x,x)，则切线方程为：001y−x=(x−x)002x0将点(-1,0)代入切线方程，得x0=1x+1所以切点为(1,1)，切线方程为：y=.23/53121(1)S=[y−2(y−1)]dy=D∫0321x+112π(2)V=π()dx−π(x)dx=.x∫−1∫026x024−t五、证明：记F(x)=∫1+tdt+∫edt，则0cos
8、x24−cosxF′(x)=1+x+esinx.4Q1+x≥1且仅当x=0时等号成立。又22−cosx−cosx0≤e≤,1−1≤sinx≤,1∴−1≤esinx≤1，则F′(x)>,0即F(x)严格单增，又π0−t2π4F)0(=∫edt<,0F()=∫21+tdt>0120π由零点定理知F(x)在,0()内至少有一实根，又F()x严格2单增，从而F(x)有且仅有一个实根。六、设任意t时刻桶内溶液的含盐量为m(t).考虑时间间隔t,[t+dt]内含盐量的改变量，得⎧mt()⎪dm=×−×205dt5dt⎨500化简，得⎪⎩mg(0)5000=⎧mt⎪dm=(100
9、−)dt4−100⎨100，解方程得m(t)=10+Ce，⎪⎩m)0(=10g由初条件得C=−5000任意t时刻桶内溶液的含盐量为:t−4100mt()10=−5000e.4/541七、证明：由积分中值定理知：∃η∈,0()，使得22η1ηf)1(=ef(η)×，即ef)1(=ef(η)，e2x构造辅助函数F(x)=ef(x)则F(x)在[η]1,上满足Rolla定理的条件，知∃ξ∈(η)1,⊂)1,0(，使得F′(ξ)=0，又xxξξF′(x)=ef(x)+ef′(x)，有F′(ξ)=ef(ξ)+ef′(ξ)=0即f(ξ)+f′(ξ)=0.5/55
