2006级第一学期期末试卷A.pdf

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1、课程编号：A071001北京理工大学2006-2007学年第一学期2006级《微积分A》期末试卷(A卷)班级学号姓名成绩一、求解下列各题（每小题7分，共35分）x21设y=−xarctanx−,1求y′.2x−1sinx2求不定积分∫(2+xlnx)dx.1+cosx13求极限lim(tanx)1+lnx.x→+0adx4计算定积分I=∫2,其中a>.00(a2−x2)325求微分方程.y′′−2y′=4x+1的通解.二、完成下列各题（每小题7分，共28分）x221设当x→0时，e−ax−bx−c是比x高

2、阶的无穷小，求a,b,c的值.2求函数f(x)=3x(x−)4在(−∞,+∞)内的单调区间和极值.t⎧⎪x=∫cos(u+t)dudy3设y=y(x)是由方程组⎨0所确定的隐函数，求.⎪⎩2dxysint−cost−1=022πsinx4πsinx4求证：∫2dx=∫dx..πx2πx三、（8分）设y(x)在,0[+∞)内单调递增且可导，又知对任意的x>,0曲线y=y(x)，2上点)1,0(到点(x,y)之间的弧长为s=y−,1试导出函数y=y(x)所满足的微分方程及初始条件，并求y(x)的表达式.四、(

3、8分)过点(−)0,1作曲线y=x的切线，记此切线与曲线y=x、x轴所围成的图形为D，（1）求图形D的面积；/21（2）求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.x024−t五、（7分）求证：方程∫1+tdt+∫edt=0有并且只有一个实根.0cosx六、（8分）一圆柱形桶内有500升含盐溶液，其浓度为每升溶液中含盐10克。现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合)，同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B管流出。假设桶内的溶液始终保持为500升，求任意t时刻桶内

4、溶液的含盐量.12x七、（6分）设f(x)在]1,0[上可导，且满足f)1(=∫2ef(x)dx，求证：至少存在一e0点ξ∈)1,0(，使得f′(ξ)+f(ξ)=.0/22