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1、惯性张量的物理意义上海海运学院洪国雄一。·,,,,卜。·坦摘要惯性张圣是较难理解的概念本文用较清晰的艺帆肠知、,物理思路详细讨论,由式与定轴转动的情况比较见相当于惯了惯性张蚤的物理意义并对惯性讨积作较深入的分析同时讨论了惯性张童与转动惯量性的物理量沱是由九个分量构成的张量,称它为惯性张,的区别和联系量因此从整体的角度来看表示刚体定点转动惯性的量值,,在力学中惯性张量的物理意义对初学者往往感以上我们是从动量矩引人愤性张量这样比有的,教尸引人惯性张量显得较自然,到不容易理解在一般教材中对惯性张量物理意义的材用转动惯量丁,因此在教学中如何阐明它的物理意义,讨论又较简单容易理解从动量矩
2、来讨论惯性张量也是深人理解是值得探讨的问题惯性张量物理意义的基础下面我们首先简略地回顾惯性张量的引人,就整二、惯性张与转动惯且的区别和联系体的角度说明它的物理意义,并讨论惯性张量与转动,惯量的区别和联系在这基础上我们再较深人地分析在讨论惯性张量各分量的物理意义之前,我们先惯性张量各分量的物理意义简单地讨论一下惯性张量与转动惯量的区别和联系与了虽然都是表示刚体转动惯性的大小,但它们惯性张,的引入之间有一定的差别首先,转动惯量是指定轴转动时我们知道,在刚体定轴转动时,刚体在转动轴上的惯性大小而惯性张量是指定点转动时的惯性大的动量矩和动能分别为,,当转轴取定后,它是一个常数而对小其次
3、对,,一。,、一当刚体转动的定点取定时由于通过该点可以建立许合、,所多坐标系以的分量还与所取坐标系有关在某,,与质点运动相比较我们把称为转动惯量它表示点取定的坐标系上各分量的大小是一定的,但在同一刚体定轴转动惯性的大小点的不同坐标系上各分量相应的值就不同了,它们满,在刚体定点转动时刚体的动量矩为足张量的变换关系可,以证明在有的坐标系中的表乙叭弓彻火弓示较,只有对角元素,艺简单这时的坐标轴称为惯性主轴另外,是一常数,动量矩的方向与角速度的方向一致写成矩阵形式为而是二阶张量,动量矩的方向一般与角速度的方向了、众气乓、不一致一由于定点转动包括了瞬时定轴转动,因此了与有一,一‘一己定内
4、在联系应该可以由惯趴时幻艺那艺那性张量来求得转动惯量如一,‘十艺哪艺时对毛柳,图所示若刚体对点的一‘一,艺哪艺哪从讨对惯性张量为某,瞬时它」绕以角速度叨转动,口轴的单位矢量为一,,,简写成田设应依,则在而刚体定点转动的动能为轴上的分量··‘,‘‘···凡艺艺如‘扁扁。二该从吻,卜这就是定轴转动时。,与吻的关系,所以刚勾寸口材一凡这里负号表示名轴的转动惯量为,卜在轴引起的动量矩沿月了、尸、言俨,·、军凡肠探几,、、,尸口以、夕、、的负方向这也说明了为什么惯性积出现负号,而要一由气找出它的转动惯性,应,把它化成角速度的表示式可见若已知及扁就可以由式求得对轴图,二,如用外来表示乌那么
5、由图可见一外有,的转动惯量可以证明·一·外‘二与一哆献艺玲如瘫味,、,按定轴转动来看与外都是同一方向上的分量所以显然表示质点绕轴的转动惯量但如用低来表三、恨性张各分的物理意义。示几,情况又如何呢设图是表示质点的运动在,,,平可见二而,二先讨论惯性张量的对角元素设刚体定轴转动的面上的投影叽笼,,它的方向命,,所以朽少田得轴为坐标系的轴,由式求得一产二一恻叭刚体对轴的转动惯量为对式,如不考虑式中与田的下标,那么泞少义’‘肠‘可以看成是转动惯性的大小但在定轴转动中,与田一人“应是,“”卜相同的分量下标它的系数才是转动惯量咖,“几,式而式中气是用姚来表示的,因此柳一二一艺时为不能称它为
6、转动惯量,另给它起个名称,称为惯性积同理可求得这就是引人惯性积的原因伽,都用对应分量雌表示,一一仓沙吞今艺就不会出现惯性积的问题由上面分析,对惯性积冲岁义人几二艺叭子对这物理。二“,量可以这样理解当用来表示气时。它可见的对角元素是反映对轴表现的惯性大小用惯性积”砂无来表示其它惯了刚体对坐标轴的转动惯量性积的意义也可类似地进行讨论对的非对角元素这从式可见,惯性积具有对称性如式中第一些元素称为惯性积,它的个方程中柳是与外相乘,而第二个方程中柳是意义是什么呢与低相乘,因此对啊声尤惯性积可以有二种看法当它,为简单起见我们由一特例来讨论考虑特殊的刚与叭相乘时,柳表示刚体绕轴的动量矩用姚表
7、,,体—质点的定点转动如图所示设质点在垂示时对应的惯性大小当它与外相乘时,娜表示刚直于轴平面上绕轴以叭转动首先考虑对定点体绕轴的动量矩用外表示时对应的惯性大小因此,口的动量矩由于,,即质点的速度叭柳称为对轴和轴的惯性积,一,,,“,一叭乡时总之我们可以这样说当用峙份,声其中咋对口点的动量矩为咋,其分量为表示时,它的“惯性项”称为惯性积当‘用助表示时,标标标丫它的“惯性项”称为转动惯量由于刚体定点转动时,它,中表示对‘轴的量矩其余意义相似而对每,淇标矽一坐标轴以及坐标轴间都表现出一定惯性所以对
