上财研究生高微题库——三、消费与生产函数.pdf

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1、第三部分消费与生产理论第一节效用最大化问题ρρρ1/1.[简单][来自WMG3.D.5]考虑一个常数替代弹性的效用函数ux()[=+xx]。12(1)求瓦尔拉斯需求函数和间接效用函数；(2)证明：瓦尔拉斯需求函数是单值的，零次齐次的，并且满足瓦尔拉斯法则；(3)证明：间接效用函数是零次齐次的，对财富严格递增，对价格严格递减的。证明：(1)注意到，效用函数的单调变换不改变偏好关系本身。于是，这个常数替代弹性的效用函数表示的偏好也可以用以下效用函数表示：ux()==+ρρux()ρ(xρρx)12以u()i为目标函数，效用最大化问题的解为：wδδ

2、−11−xpw(,)(=)(p,p)δδ12pp+12ρ其中δ=∈(,−∞1).ρ−1将上式代入u()i,得到间接效用函数wvpw(,)=δδδ1/()pp+12(2)需求函数是单值的，这是显然的。验证需求函数的零次齐次性：αwδδ−11−xpw(,)αα=((),αp())αpδδ12()()ααpp+12wδδ−−11=(,)ppδδ12()()pp+12=xpw(,)验证瓦尔拉斯法则：wδδ−−11piixpw(,)=+(ppppi)=wδδ1122()()pp+12(3)验证间接效用函数的零次齐次性：vpw(,)ααααwww===[(α

3、αpp)δδ+()]1/δααδi11δ()()ppδδ++δδppδδ1121212=vpw(,)验证单调性：∂vpw(,)1=>01∂w()ppδδ+δ12δ−1∂vpw(,)wpl=−<0。1∂pppδδ+δ+1l()122.[简单][改编自WMG习题3.D.5]考虑一个常数替代弹性的效用函数ρρρ1/ux()[=+xx]，证明当ρ→0时，ux()是Cobb-Douglas形式的，并且间接效用函1234数是关于(,)pw的拟凹函数。解：当ρ→0时，效用函数是Cobb-Douglas形式的。为了证明这一点，注意到，效用函数的单调变换不改变偏好

4、关系本身。于是，做如下的单调变换：1ρρux()ln()==+uxln(xx)12ρ根据L’Hopital’s法则,ρρρρlim()ux=++lim(xxxxxxlnln)/()112212ρρ→→001=+(lnxxln)122因为exp(2())ux=xx，于是这个偏好对应的效用函数是Cobb-Douglas形式的。121对于效用函数ux()=+(lnxln)x，它的间接效用函数是：12211vpw(,)=−−−lnwln2lnplnp。1222为证明其拟凹性。注意到，lnp和lnp是凹函数，而lnp+lnp也是凹函数。1212对于

5、满足vpwvvpwv(,),(,)≤≤′的任意价格向量p,p′我要证明vtp((+−1),),[tpw′≤∈vt0,1]。即要证明：ln(tp+−(1tp)′′)ln(+tp+−(1tp))≥2lnw−2ln22−v1122lnppw+≥−−ln2ln2ln22v12我们已经有lnppw′′+≥−−ln2ln2ln22v12由于lnp是凹函数，于是ln(tp+−(1tp)′′)ln(+tp+−(1tp))1122≥+tpln(1−++tptp)ln′′ln(1−tp)ln1122=++tpp(lnln)(1−+tp)(ln′′lnp)1212≥−

6、−tw(2ln2ln22)(1vtw+−−−)(2ln2ln22)v=−−2lnwv2ln22因此vtp((+−1),),[tpw′≤∈vt0,1]。证毕。3.[简单][来自WMG习题3.D.6]αβγ考虑一个效用函数ux()(=−xb)(xb−)(xb−)。112233(1)解释为什么可以不失一般性地假设α+βγ+=1；(2)求瓦尔拉斯需求函数和间接效用函数，并证明间接效用函数是零次齐次的，对财富严格递增，对价格严格递减的，而且，间接效用函数是(,)pw的拟凸函数。1()αβγ++α′βγ′′解：(1)定义uxux()==()(xb−)(xb

7、−)(xb−)，其中，112233αβγαβγ′′′===,,。于是α′+βγ′′+=1并且u()i代表了α++βγαβγ++αβγ++与u()i一样的偏好关系。因此可以不失一般性地假设α+βγ+=1。(2)利用另一个单调变换：ln()ux=−αln(xb)+−βγln(xb)+−ln(xb)112233瓦尔拉斯需求函数为：35αβγxpw(,)(,,)(=+bbbwpb−i)(,,)123ppp123其中pibpbpbpb=++.将这个需求函数代入u()i，得到间接效用函数：112233ααβγβγvpw(,)(=−wpbi)()()()。p

8、pp123验证间接效用函数的齐次性：αβγαβγvpw(,)(λλ=−λλwpbi)()()()λλλppp1231(−++αβγ)αα