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1、Vol.28No.1 物 理 教 师 第28卷第1期(2007)PHYSICSTEACHER2007年巧用物理方法求解数学问题卞志荣(江苏省天一中学,江苏无锡214101) 数学是学习物理的基础和工具,物理中的许多问题需要z1+APy+zy1+m用数学去研究处理,同时物理问题的解决也对数学提出了新量分别为x,(y+z),所以===,PMxxmn要求,增添了新的研究课题.物理不仅为数学提供了理论联y系实际的用武之地,也可对某些数学问题的解决提供物理方证毕.法.本文举例说明用物理方法可以巧解一些数学问题,其目像这一类比例
2、问题都可以用此方法证明,如梅氏定理、的是拓宽解题思路,培养学生创新意识,提高用数理知识分赛瓦定理等.析解决问题的能力.3 利用平面镜成像原理求极值问题1 应用圆周运动知识求曲率半径解决这类问题的关键:是把题中的哪一条线段视为平面例1.已知椭圆方程为镜,依据题意应该把哪点看作物点,哪点看作像点至关重要.22xy例3.对正方形ABCD,设E2+2=1,试采用物理方法AB在其边BC上,且BE=2,CE=1确定椭圆两顶点P(A,0)、(如图3),P在BD上,则PE和PCQ(0,B)处的曲率半经.的长度之和最小值为多少?析解:将椭圆
3、视为半经R析解:如果把BD看作一个平=A的圆在水平面上的投影,图1面镜.选好入射点,光线从C点射圆所在平面与水平面的夹角Ψ向P′点,经反射后应恰使光线经过满足关系cosΨ=B=B,设质点在圆上作匀速圆周运动的E点.根据光的反射定律和平面成图3RA22像特点可知,C点对平面镜BD所成虚像C′必与A点重合.vv速率为v,则向心加速度大小为an=R=A(如图1).质点所以连接AE与BD交于P′,P′即为入射点.AE=AP′+投影在椭圆顶点P处的速率和向心加速度大小分别为vP=P′E=P′C+P′E为所求的最小值.2v222vco
4、sΨ=Bv,a=a=v,因此P点曲率半径ρ=P=易证最小值为AE=2+3=13.PnPAAaP例4.问当x为何值时,函数2B,质点投影在椭圆顶点Q处的速率和向心加速度大小分y=x2+4+x2-6x+25有最小Av2BBv2值?并求出最小值.别为vQ=v,aQcosΨ=·=2,因此Q点曲率半径AAA析解:同上题仍可以利用光的反射v22QA定律和平面镜成像原理来求最小值.因ρQ==.aQB2222为y=x+2+(x-3)+4可看2 利用质心原理证明几何中的比例关系作x轴上任一点P(x,0)到两点A(0,解决这类问题的关键:是巧
5、妙地设定三角形各顶点质点2)和B(3,4)的距离之和.故y=
6、PA
7、的质量.图4+
8、PB
9、,于是,求函数y的最小值问题例2.如图2,MN分别是便转化为:在x轴上求一点P′,使得
10、P′A
11、+
12、P′B
13、为最小.三角形ABC的BC、CA边上如果把x轴看作一个平面镜,选好入射点P′,光线从B点BMCN的点,且MC=m,NA=n,若射向P′点,经反射后应恰使光线经过B′点,据光的反射定律AM与BN相交于点P,求证:和平面镜成像特点可知,B点对于x轴所成虚像B′必与BAPm+1点关于x轴对称.所以连接AB′交于P′,P′点即为入射点.
14、=.PMmn易求P′坐标为(1,0)即当x=1时,函数的最小值为35.证明:假设在顶点A、B、图24 利用弹性碰撞规律证明勾股定理zxC分别放有质量为x、y、z的质点,且满足:m=,n=,解题关键:是巧妙地设定两球发生斜碰(即碰后两球不yz则M为B、C的质心,N为A、C的质心,则P点是A、B、C在同一直线上运动),且碰撞前有一小球无初速度.三点的质心,从而P点是A、M的质心,又因为A、M的质例5.证明勾股定理.证明:如图5中,设A、B两球质量均为m,B球原来静—16—第28卷第1期 物 理 教 师 Vol.28No.1
15、2007年PHYSICSTEACHER(2007)止,让A球以速度v跟B球作完全弹性碰整个质点系的重力是所有质点的重力之和,即撞.将v分解为沿两球心连心线方向的分n(n+1)mg=1+2+⋯+n=.2速度v2和跟v2垂直的分速度v1.斜碰后,根据平面几何知识可知,重心G在AH上,且AG=两球交换分速度v2,B球以速度v2沿AB22(n-1)2n+1方向运动,A球以速度v1沿AC方向运AH,坐标xG为:xG=+1=,所以力矩总333动,如图5所示.图5和两球作弹性碰撞,由系统动量守恒得n(n+1)(2n+1)M=mg·xG=
16、.(2)mv1+mv2=mv,6所以v1+v2=v.由(1)、(2)两式得作出A球v1、v2合成矢量图△ACD,则△ACD也是一12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1).6直角三角形.6 应用共点力平衡原理证明三角形的“五心”由动能守恒得:解题关键:巧妙地在三角形每条边的两端点设置反向等12
