椭圆题型总结[较难]

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1、......椭圆题型总结一、焦点三角形1.设F1、F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过F2，求的面积的最大值。（法一）解：如图，设，，根据椭圆的定义，，，又，在ΔAF2F1和ΔBF2F1中应用余弦定理，得，∴，，∴令，所以，∴在上是增函数∴当，即时，，故的面积的最大值为．（法二）解：设AB：x=my+1，与椭圆2x2+3y2=6联立，消x得(2m2+3)y2+4my-4=0∵AB过椭圆内定点F2，∴Δ恒大于0.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则Δ=48(m2+1)=

2、y1-y2

3、==令t=m2+1≥1，m2=t-1，则=，t∈[1,+)f(t)=在t∈[1,+)上单

4、调递增，且f(t)∈[9,+)∴t=1即m=0时，ΔABF1的面积的最大值为。注意：上述AB的设法：x=my+1，方程中的m相当于直线AB的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况，即m=0的时候。在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论。学习参考......2.如图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：(1)求点P的轨迹方程；(2)若，求点P的坐标.解：(1)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=，所以椭圆的方程为(2)由得①因为不为椭圆长轴顶点，

5、故P、M、N构成三角形.在△PMN中，②将①代入②，得故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.由(Ⅰ)知，点P的坐标又满足，所以由方程组解得即P点坐标为二、点差法定理在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则.3.直线l经过点A(1，2)，交椭圆于两点P1、P2，（1）若A是线段P1P2的中点，求l的方程；（2）求P1P2的中点的轨迹．学习参考......解：（1）设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，则…………*∵A(1，2)是线段P1P2的中点，∴x1+x2=2，y1+y2=4，∴，即。∴l的方程为，即

6、2x+9y-20=0．（2）设P1P2的中点M(x，y)，则x1+x2=2x，y1+y2=2y，代入*式，得，又直线l经过点A(1，2)，∴，整理，得4x(x-1)+9y(y-2)=0，∴P1P2的中点的轨迹：。4.在直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点P和Q.（1）求的取值范围；（2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由.解：（1）直线的方程为由得：直线与椭圆有两个不同的交点，＞0.解之得：＜或＞.的取值范围是.（2）在椭圆中，焦点在轴上，，学习参考......

7、设弦PQ的中点为，则由平行四边形法则可知：与共线，与共线.，从而由得：，由（1）可知时，直线与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数.三、最值问题5.已知P为椭圆上任意一点，M（m，0）（m∈R），求PM的最小值。目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。提示：设P(x,y)，用距离公式表示出PM，利用二次函数思想求最小值。解：设P(x,y)，PM====，x∈[-2,2]，结合相应的二次函数图像可得（1）<-2，即m<时，(PM)min=

8、m+2

9、；（2）-2≤≤2,即≤m≤时，(PM)min=；（3）>2，即m>时，(PM)min=

10、m-2

11、.说明：

12、（1）类似的，亦可求出最大值；（2）椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为b，最远的点是长轴端点，最大值为a；（3）椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点，最小值为a-c，最远的点是长轴右端点，最大值为a+c；6.在椭圆求一点P，是它到直线l：x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问题的一般处理方法。提示：（1）可等价转化为与直线l平行的椭圆的切线与直线l之间的距离；（1）也可以用椭圆的参数方程。学习参考......解法一：设直线m：x+2y+m=0与椭圆相切，则，消去x，得8y2+4my+m2-4=0,Δ=0,解得m

13、=.当m=时，直线与椭圆的切点P与直线l的距离最近，最近为=，此时点P的坐标是(,)；当m=-时，直线与椭圆的切点P与直线l的距离最远，最远为=，此时点P的坐标是(,)。解法二：设椭圆上任意一点P(2cosθ,sinθ),θ∈[0,2)则P到直线l的距离为=∴当θ=时，P到直线l的距离最大，最大为此时点P的坐标是(,)；当θ=时，P到直线l的距离最小，最小为，此时点P的坐标是(,)。说明：在上述解法一中体现了“数形结合”的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两平行线间的距离。在解法二中，利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的，而且三角