基于MATLAB的二重积分计算方法.pdf

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1、第１５卷第２期高等数学研究Ｖｏｌ．１５，Ｎｏ．２２０１２年３月ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＭａｒ．，２０１２基于ＭＡＴＬＡＢ的二重积分计算方法王若鹏，夏赞勋，谢鹏燕，张鹏（北京石油化工学院数理系，北京１０２６１７）摘要运用ＭＡＴＬＡＢ软件，通过对ＭＡＴＬＡＢ内部函数的改造，就一般区域上二重积分的计算给出几种计算方法及相应的ＭＡＴＬＡＢ命令，通过实例比较可显示所给方法的有效性．这些方法可加以推广后用以计算一般区域上的三重积分．关键词二重积分；ＭＡＴＬＡＢ；数值积分中图分类号Ｏ１７２

2、．２文献标识码Ａ文章编号１００８－１３９９（２０１２）０２－００６１－０３［１－２］考虑如下内积分限是函数的二重积分问题广、ｄｂｌｑｕａｄ函数的改造以及ｑｕａｄｌ命令的程序处理等三种方法实现一般区域上二重积分的计算问题．Ｉ＝ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝Ｄｂｄ（ｘ）１二重积分的计算方法ｄｘｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ．（１）∫ａ∫ｃ（ｘ）这里考虑１．１一元函数数值积分方法的推广ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ，ａ＝１，ｂ＝２，当积分区域为一般区域时，ＭＡＴＬＡＢ没有相ｃ（ｘ）＝ｓｉｎｘ，ｄ（ｘ）＝ｃｏｓｘ．应的内部函数，可借用一元函数数

3、值积分的方法进为叙述方便，不妨记行求解．数值解法计算定积分时有梯形公式、龙贝格ｄ（ｘ）公式和高斯公式等，这里只讨论梯形公式．ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ．∫ｃ（ｘ）对于二重积分（１），利用梯形法将区间［ａ，ｂ］等ＭＡＴＬＡＢ７．０提供的计算二重积分的方法有分为ｍ份，记［３］符号解法和数值解法．符号解法是使用ｂ－ａｈｘ＝，ＭＡＴＬＡＢ内部命令ｉｎｔ计算两次一重积分，其结果ｍ往往是符号，要计算积分值，必须使用ｖｐａ计算其数ｘｉ＝ａ＋ｉｈｘ（ｉ＝１，２，…，ｍ），值，在２００９ａ版本中，也可以利用ｑｕａｄ２ｄ计算

4、二重积则有ｍ－１分值，但是对稍微复杂的二重积分，这两个命令无法Ｉ≈ｈｇ（ａ）－ｇ（ｂ）＋），ｘ（２∑ｇ（ｘｉ）计算其积分值．而数值解法是利用ｄｂｌｑｕａｄ函数，但ｉ＝１其中要求内外积分限都是常函数，即只能计算矩形区域ｄ（ｘ）ｉ上的二重积分．对于一般区域上的二重积分计算，文ｇ（ｘｉ）＝ｆ（ｘｉ，ｙ）ｄｙ．∫ｃ（ｘ）ｉ［２，４－５］建议使用美国学者ＨｏｗａｒｄＷｉｌｓｏｎ和然后再将区间［ｃ（ｘｉ），ｄ（ｘｉ）］进行ｎ等分，记ＢｒｙｃｅＧａｒｄｎｅｒ开发的数值积分工具箱中的函数ｃ（ｘｉ）－ｄ（ｘｉ）ｈｙ（ｉ）＝

5、，ｇｑｕａｄｚｄｇｇｅｎ．ｎ事实上，通过对ＭＡＴＬＡＢ中相关计算重积分的ｙｉｊ＝ｃ（ｘｉ）＋ｊｈｙ（ｉ）函数加以改造，就能胜任内积分限为函数的二重积分（ｉ＝１，２，…，ｍ；ｊ＝１，２，…，ｎ），计算工作．文中通过对一元函数数值积分方法的推则有１Ｇ（ｘｉ）≈ｈｙ（ｉ）｛［ｆ（ｘｉ，ｃ（ｘｉ））＋收稿日期：２０１１－０５－０６；修改日期：２０１２－０２－２３２基金项目：北京市ＵＲＴ计划项目子项目（２０１０Ｊ０００６７）ｎ－１作者简介：王若鹏（１９７５－），男，副教授，主要从事优化理论与方法的ｆ（ｘｉ，ｄ（ｘｉ

6、））］＋∑ｆ（ｘｉ，ｙｉｊ）｝．ｊ＝１教学与研究．Ｅｍａｉｌ：ｗａｎｇｒｕｏｐｅｎｇ＠ｂｉｐｔ．ｅｄｕ．ｃｎ这一计算过程的ＭＡＴＬＡＢ函数文件代码如下．夏赞勋（１９８９－），男，信息与计算科学专业２００８级本科在读．Ｅｍａｉｌ：ｘｉａｚａｎｘｕｎ＠ｂｉｐｔ．ｅｄｕ．ｃｎｆｕｎｃｔｉｏｎＩ＝ｍｙｔｒａｐｄｂｌｑｕａｄ（ｆｕｎ，ａ，ｂ，ｃｆｕｎ，ｄｆｕｎ，ｍ，ｎ）６２高等数学研究２０１２年３月ｉｆｎａｒｇｉｎ＜７原积分化为ｂｄ（ｘ）ｎ＝１００；Ｉ＝ｄｘｆ（ｘ，ｙ）ｄｙ＝∫ａ∫ｃ（ｘ）ｅｎｄｂ１ｉｆｎａｒｇｉｎ

7、＜６ｆ（ｘ，［ｄ（ｘ））－ｃ（ｘ）］ｕ＋ｃ（ｘ））×∫∫ａ０ｍ＝１００；［ｄ（ｘ）－ｃ（ｘ）］ｄｘｄｕ．ｅｎｄ其ＭＡＴＬＡＢ程序代码如下．ｉｆｍ＜２｜ｎ＜３ｆｕｎｃｔｉｏｎｙ＝ｍｙｄｂｌｑｕａｄ（ａ，ｂ）ｅｒｒｏｒ（＇Ｎｕｍｂｅｒｉｆｉｎｔｅｒｖａｌｓｉｎｖａｌｉｄ＼ｎ＇）；ｙ＝ｄｂｌｑｕａｄ（＠Ｆ，ａ，ｂ，０，１）ｅｎｄ其中函数Ｆ即为转化后的被积函数，可以使用内联ｍｐｔ＝ｍ＋１；ｈｘ＝（ｂ－ａ）／ｍ；函数输入．ｘ＝ａ＋（０：ｍ）．＊ｈｘ；对于积分（２），其计算过程如下．ｆｏｒｉ＝１：ｍｐｔｆｕｎｃｔｉｏ

8、ｎｚ＝Ｆ（ｘ，ｕ）ｙｌｏｗ＝ｆｅｖａｌ（ｃｆｕｎ，ｘ（ｉ））；ｃ＝ｓｉｎ（ｘ）；ｄ＝ｃｏｓ（ｘ）；ｙｕｐ＝ｆｅｖａｌ（ｄｆｕｎ，ｘ（ｉ））；ｚ＝（ｄ－ｃ）．＊ｆｆ（ｘ，（ｄ－ｃ）．＊ｕ＋ｃ）；ｈｙ＝（ｙｕｐ－ｙｌｏｗ）／ｎ；ｆｕｎｃｔｉｏｎｗ＝ｆｆ（ｘ，ｙ）ｙ（ｉ，：）＝ｙｌｏｗ＋（０：ｎ）．＊ｈｙ；ｗ＝ｘ．＊ｙ；ｆ（ｉ，：）＝ｆｅｖａｌ（ｆｕｎ，ｘ（ｉ），ｙ（ｉ，：））；调用ｙ＝ｍｙｄｂｌｑｕａｄ（１，２），所得结果同式（３