二重积分的几种计算方法

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1、二重积分的几种计算方法二重积分是数学分析的重要组成部分，二重积分是定积分的推广，是二元函数在一个平面的一个区域的积分。计算二重积分的一般原则是将二重积分化为二次积分（即累次积分）加以计算。求积的困难主要来自两个方面：一是被积函数的复杂性，二是积分区域的多样寻。不同顺序二次积分计算的难易程度往往是不同的，又是错选积分顺序导致积分无法计算，有的二重积分必须通过换元才能求出。计算二重积分的一般步骤如下：1)画出积分区域D的草图；2)求交点；3)选择直角坐标系下计算，或极坐标系下计算；4)选择积分次序；5)化二重积分为二次积分；6)计算。一．二重积分的直接计算方法所谓连续函数展步在有限

2、封闭可求积二位域内的二重积分乃是指数其中，而其和为对所有，使的那些值来求的。若域有下面的不等式所给出其中和为闭区间上的连续函数，则对应的二重积分可按下面的公式计算例1.计算，其中区域是由直线与抛物线所围成的区域。解:积分区域如图1所示，有定义是简单区域，边界与得交点为和。若选择先对积分，则过轴上内的任一点作轴的平行线，该线的与下边界交点在上，与上边界交点在上，所求积分为若选择先对积分，同理可得图1若求二重积分时，遇到复杂区域，应将复杂区域化成若干个简单区域，然后根据，来计算。例2.计算，其中是由，，及所围成。解:积分区域如图2所示，有定义可知为复杂区域，边界线的交点分别为。若先

3、对积分则连接，将分成两个简单区域，。的方程为，所求积分为图2图3若先对积分，则连接,把区域分成两个简单区域，。的方程为，如图3所示，所求积分应为在化二重积分为累次积分时还应注意：若先对积分，则第一次积分是是积分变量，积分上下限应含有的表达式或常数；若先对积分，则第一次积分时时积分变量，积分上下限应该含有的表达式或常数。一．二重积分中的变量代换若可微分的连续函数把平面上的有限域单值惟一地映射为平面上的域雅哥比式则下之公式正确：特别是，根据公式，变换为极坐标和得情形有例2，其积分区域是由椭圆所围的区域。解：作变化，则域变为域，且。于是，例3设是常数，计算积分。解：设则，变成一．小结

4、计算二重积分必须注意：能否快算，用何坐标，是否分区域，如何定限。计算二重积分的主要方法有：几何意义化简，利用直角坐标或极坐标化为二次积分，利用分域法，交换积分次序等。参考文献：[1]吉米多维奇.数学分析习题集精选精解[M]山东：山东科技出版社，2007[2]钱吉林.数学分析题解精粹[M]湖北：湖北长江出版集团2009[3]同济大学应用数学系.微积分（下册）[M]北京：高等教育出版社2003