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1、保山学院学报几种特殊类型二重积分的计算方法屈红萍杨在荣张红梅（保山学院数学学院，云南保山678000）[摘要]二重积分是高等数学的重点，也是难点，计算较为繁琐。主要通过笔者在二重积分教学中的体会，对一些特殊类型的二重积分的解题技巧进行了总结。[关键词]二重积分；积分区域；被积函数；对称性[中图分类号]O13[文献标识码]Adoi:10.3969/j.issn.1674-9340.2012.02.011[文章编号]1674-9340（2012）02-035-04y(x)二重积分是高等数学的重点，也是难点，2可以解决问题，这时令F(x)=乙f(y)dyy(x)计算较为繁琐。二重积分的计算
2、方法主要是在1by2(x)bbb极坐标系和直角坐标系下将二重积分化为二则乙dx乙f(y)dy=乙F(x)dx=xF(x)
3、a－乙xF′ay(x)aa1次积分（累次积分），进而利用两次定积分计算b此二重积分。但是某些二重积分化为二次积分(x)dx=bF(b)－aF(a)－乙xF′(x)dxa后计算仍相当困难，计算的困难主要来自两个解法一：由所给的二次积分画出积分区域方面，一是被积函数的复杂性，二是积分区域D的草图，如图1，的多样性。这时，我们就要采用特殊的算法计y算。本文主要通过笔者在二重积分教学中的体会，对一些特殊类型的二重积分的解题技巧进行了总结。1.被积函数的原函数不是初等函数
4、Ox112－y[1]P141图1积分区域D例1：计算二重积分乙dx乙edy0x分析：此题已经将二重积分转化为了先积把D看成Y－型区域，y后积x的二次积分，但所给二次积分的里层积则D=乙(x,y)
5、0≤x≤y,0≤y≤1，≤122由此交换积分顺序得：－y－y分乙edy中的e的原函数无法用初等函数表1121y2x－y－y乙dx乙edy=乙dy乙edx示（即所谓的积不出来），此时必须考虑交换积0x00122分次序或者利用定积分的分部积分法，即在对－y1－y111=乙yedy=－e
6、0=(1－)022eby2(x)二次积分乙dx乙f(y)dy的计算中，f(y)的原函解法二：利用分部积分法a
7、y(x)1112112－y－y数无法用初等函数表示的话，利用分部积分法乙dx乙edy=乙［乙edy］dx0x0x收入日期：2012-04-12作者简介：屈红萍（1977—），女，云南龙陵人，保山学院数学学院，副教授，研究方向为高等数学教育与应用数学。保山学院学报2012第2期12112－y1－y称，则=(x乙edy)
8、0－乙xd(乙edy)x0x蓦蓦0,f(－x,－y)=－f(x,y)蓦122蓦－x1－x111蓦蓦=0+乙xedx=－e
9、=(1－)f(x,y)dxdy=蓦其0蓦蓦022e蓦2f(x,y)xdy,f(－x,－y)=f(x,y)D蓦蓦蓦蓦若被积函数只与y(或x)有关，并且
10、原函数蓦D1中D是D的上半平面的部分。无法用初等函数表示，则只有化成先对x(或y)1222sinx2例3:设域D由双纽线(x+y)=2xy围成，计后对y(或x)的积分。如被积函数出现,sinx,x2－xy算积分蓦xydσe,sin等函数时，则只能化成先对y后对x的Dx解：积分区域D如图3，关于坐标原点O对二次积分或者利用定积分的分部积分法。称f(－x,－y)=(－x)·(－y)=xy=f(x,y)，所以，由结论22.利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性知：蓦xydσ=2蓦xydσ=2蓦rcosθ·rsinθdrdθ若被积函数f(x,y)在积分区域D上连续，则DD1D1ππ可根据被积
11、函数的奇偶性和积分区域的对称%2姨sin2θ23131性简化积分，规则如下：=2乙cosθsinθdθ乙rdr=乙sin2θdθ=00406结论1：如果积分区域D关于y轴对称，f(x,y)关于x具有奇、偶性，则r2＝sin2θy蓦蓦0,f(-x,y)=－f(x,y)蓦蓦蓦蓦f(x,y)dxdy=蓦蓦蓦蓦2f(x,y)dxdy,f(-x,y)=f(x,y)D蓦蓦x蓦蓦蓦D1O[3]P123其中D是D的x轴以上的部分。1如果积分区域D关于x轴对称，f(x,y)关于y具有奇、偶性，也有类似结果。222图3双纽线(x+y)=2xy22222例2：设平面区域D由双纽线(x+y)=a(x+结论3
12、：如果积分区域D关于直线y=x对称，2y)围成，计算积分蓦xsinydσD则蓦f(x,y)dxdy=蓦f(y,x)dxdyDD解：积分区域D（如图2），关于y轴对称，被在二重积分的计算中，如果发现积分区积函数f(x,y)=xsiny关于变量x为奇函数，由结论域具有某种对称性时，可根据被积函数的构成特点，充分利用对称性解题，这样能简化计1知蓦xsinydσ=0D算过程，使一些较复杂的计算变得简单。利用y对称性计算二重积分也是一种非常重要的计222222算技巧
