弹性力学8-逆解法、半逆解法、梁的纯弯曲.pdf

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1、第三章平面问题直角坐标解答本章内容3.1逆解法与半逆解法多项式解答3.2矩形梁的纯弯曲3.3位移分量的求出3.4简支梁受均布荷载3.5楔形体受重力和液体压力本章重点：用逆解法、半逆解法求解平面弹性力学问题。第三章平面问题直角坐标解答本节内容3.1逆解法与半逆解法多项式解答内容要点：1.逆解法与半逆解法解题方法的介绍2.逆解法举例—应力函数的多项式解答（只解出应力分量，位移分量后面再介绍）第三章平面问题直角坐标解答3.1逆解法与半逆解法多项式解答1.逆解法与半逆解法应力函数ϕ解法将平面问题的一组方程简化为相容方程式（2-25）的一个方程，问题得到大

2、大简化。理论上只需求解一个方程（2-25）就可以得到应力分量，如果应力分量满足应力边界条件，则所得应力分量就是问题的正确解答。数学上能够找到很多满足式（2-25）的双调和函数，但是要找到同时能满足应力边界条件和双调和方程的函数却十分困难。为了能获得问题的解答，采用逆解法或半逆解法。第三章平面问题直角坐标解答3.1逆解法与半逆解法多项式解答第三章平面问题直角坐标解答3.1逆解法与半逆解法多项式解答1.逆解法与半逆解法逆解法：事先设定应力函数[双调和函数（2-25）]，根据（2-24）式可得到应力分量，看这个应力分量能满足哪些应力边界条件，由此可以

3、确定所设定的应力函数能解决什么样的问题。——不针对具体问题，用于积累弹性力学的基本解答。类似于查表法，在已经得到的一族函数中查找与所要求解的问题一样的情况，直接引用其解答。半逆解法：是根据弹性体的形状和受力情况，推测假设可能的（部分或全部）应力分量表达式，由应力分量反推出可能的应力函数的形式，然后带入双调和方程确定应力函数具体表达式，由（2-24）求出应力分量，看其能否满足边界条件，若满足则问题即告解决，若不满足则另作假设，重新求解。——是针对具体问题，“凑”出一个满足所求问题边界条件的双调和函数。第三章平面问题直角坐标解答3.1逆解法与半逆解法多

4、项式解答2.逆解法举例——多项式解答逆解法步骤：（1）先找出满足双调和方程（2-25）的解答-ϕ，（2）由式（2-24）计算出应力分量，（3）根据应力分量表达式及（2-15），由应力反推出相应各边界的面力，（4）所的解答即是该面力边界作用下弹性体的解答。逆解法举例说明:体力为零的情况下的一系列多项式解答。将应力函数ϕ设定为一系列关于弹性体中点坐标（x，y）的一系列多项式函数ϕ（x，y），按照逆解法步骤看每个多项式解函数ϕ能够解决哪类弹性力学问题。第三章平面问题直角坐标解答3.1逆解法与半逆解法多项式解答2.逆解法举例——多项式解答1）应力函数ϕ为一

5、次多项式（1）axbyc其中：a、b、c为待定系数。4444（2）检验φ(x,y)是否满足双调和420224xxyy方程：显然φ(x,y)满足双调和方程，可作为应力函数。（3）对应的应力分量：222x2fxxfxxy2fyyfyyxy0yxxy假定体力：fx=fy=0，则有：xyxz0（1）一次多项式对应于无体力和无应力状态；结论1：（2）在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。第三章平面问题直角坐标解答3.1逆解法与半逆解法多

6、项式解答2.逆解法举例——多项式解答2）应力函数ϕ为二次多项式公式推导22（1）axbxycy其中：a、b、c为待定系数。（2）检验φ(x,y)是否满足双调和方程，显然有44440,0,00可作为应力函数4422xyxy（3）由式（2-26）计算应力分量：(假定：f=f=0;a>0,b>0,c>0)xy222x22cy22axybyxxy可解决的问题：分别考虑多项式中各分项所能解决的问题。第三章平面问题直角坐标解答3.1逆解法与半逆解法多项式解答2.逆解法举例——多

7、项式解答2a2）应力函数ϕ为二次多项式Ox可解决的问题（分析边界条件）：（1）应力函数：ax22ay应力分量0,2,a0xyxyyxb（2）应力函数：bxyox应力分量0,0,bxyxyyxbbxy2y（3）应力函数：cy2c2c应力分量2,c0,0xxyxyyx结论2：二次多项式对应于均匀分布的应力。y第三章平面问题直角坐标解答3.1逆解法与半逆解法多项式解答2.逆解法举例——多项式解答2）应力函数ϕ为二次多项式应用举例：例：试求图示板的应力函数。000xx0yy

8、cyc2；2,0,0bxy；0,0,bxyxyyxxyxyyx,0,